Primera edición: junio de 2010

Facultad de Ciencias, Departamento de Matemáticas

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ISBN: 978-958-719-486-9

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[The] purpose of the System of Existential Graphs [is] to afford a method for representing propositions
(1) as simple as possible (that is to say, with as small a number of arbitrary conventions as possible),
(2) as iconically, or diagrammatically and (3) as analytically as possible.

[c. 1905; CP 4.561]

Existential Graphs enable me here and there greatly to abridge the labor and increase
the exactitude of my thought by putting intricate logical relations
in the forms that display to me precisely what they involve.

[c. 1910; CP 7.103]

My reason for expressing [definitions] in Existential Graphs is that if one learns to think of relations
in the forms of those graphs, one gets the most distinct and ecthetically as well as otherwise intellectually,
iconic conception of them likely to suggest circumstances of theoric utility,
that one can obtain in any way.

[1908; CP 4.619]

The System of Existential Graphs recognizes but one mode of combination of ideas, that by which
two indefinite propositions define, or rather partially define, each other on the recto and
by which two general propositions mutually limit each other upon the verso;
or, in a unitary formula, by which two indeterminate propositions
mutually determine each other in a measure.

[1906; CP 4.583]

My chef d'oeuvre.

[1908; Carta a Jourdain]

INTRODUCCIÓN

Los gráficos existenciales, considerados por Peirce como su “obra maestra”, no han contado con la gloria que merecen. Su falta de impacto se debió, en los comienzos de la recepción de la obra de Peirce, a dos infortunados eventos ocurridos en Harvard. Por un lado, la aparición de algunos fragmentos de la lógica gráfica en el volumen IV (1933) de los Collected Papers se entreveró con los problemas de desmembración arbitraria de la edición, impidiendo una justa comprensión del amplio proyecto peirceano. Por otro lado, una condescendiente reseña de Quine (1934), fulgurante meteoro de la lógica en Harvard, descalificó la visión gráfica de Peirce. Luchando contra esos ominosos augurios iniciales, la recepción correcta y el desarrollo de los gráficos peirceanos han vivido desde entonces dos momentos privilegiados: el año 1963, con las tesis doctorales de Roberts y de Zeman, asociadas a la precisa comprensión técnica de los sistemas ALFA, BETA y GAMA, y las dos décadas 19902010, con los aportes definitivos de Burch, Brady, Trimble y Oostra en el entendimiento de los fondos matemáticos naturales -topológico, categórico e intuicionista- de los gráficos.

Casi ochenta años después de la edición Harvard y de la torpe reseña de Quine, los gráficos parecen haber alcanzado ahora (2010) un importante umbral desde el cual poder despegar allende Peirce. De hecho, si los trabajos de Roberts y Zeman, con sus teoremas de caracterización para ALFA (cálculo proposicional clásico), BETA (lógica clásica de primer orden sobre un lenguaje puramente relacional) y GAMA (sistemas modales intermedios tipo Lewis) habían precisado las ideas deductivas de Peirce, y, a su vez, Burch había demostrado que en un cálculo topológico de relaciones la tríada 1-2-3 se requería en toda su plenitud (3 no reducible a combinaciones 1-2, tal como insistía Peirce), por otros caminos, Brady y Trimble han propuesto nuevos modelos categóricos para ALFA y BETA, mientras Oostra ha construido un cálculo intuicionista con nuevos conectivos para la lógica gráfica. La ampliación del lenguaje, del cálculo y de la semántica abre entonces perspectivas enteramente originales allende el mismo Peirce.

En la estela de El continuo peirceano, publicado por esta misma editorial hace ya una decena de años (2001), pretendemos con Los gráficos existenciales peirceanos ampliar nuestras reflexiones acerca de los problemas de conceptualización y representación de una lógica del continuo, considerada por Peirce como la base de todo su sistema filosófico. Aprovechando un tratamiento pendular analítico/sintético -que definiremos más adelante como “horótico” (de horos, borde, límite)-, intentaremos abordar en esta breve monografía los sistemas de gráficos existenciales desde dos perspectivas centrales: (i) exploración del fondo filosófico y metodológico de los gráficos, (ii) contrastación de las ideas peirceanas con posteriores técnicas aledañas de la matemática del siglo XX. Es importante distinguir claramente nuestro trabajo de otros tantos dedicados a los gráficos de Peirce, y señalar por tanto lo que esta monografía no es: (1) no se trata de una detallada, rigurosa, formal y autocontenida presentación matemática de los sistemas de gráficos existenciales (próximamente disponible por vez primera en [Oostra 2011]), (2) no pretende proveer una visión genética de los gráficos, que glose y complete las perspectivas del propio Peirce (visiones disponibles desde las tesis doctorales [Roberts 1963] y [Zeman 1963]), (3) no se restringe a consideraciones sintácticas y lingüísticas sobre los gráficos [Shin 2002], completamente ajenas al fondo del programa sinequista -semántico y pragmático- de Peirce.

De manera positiva, nuestro énfasis puede entenderse, en cambio, como una reflexión crítica sobre los gráficos. La crítica detecta ideas centrales -que retenemos mediante el subtítulo horosis, tránsitos, reflejos, fondos-, describe transformaciones, modulaciones y expresiones parciales de esas ideas centrales, y plantea diversos problemas asociados. En particular, nos interesará resaltar el lugar de los gráficos dentro de la arquitectónica general de Peirce (tránsitos, reflejos) y su contenido semántico matemático (horosis, fondos). Así como la crítica literaria presupone un cierto conocimiento de las obras literarias examinadas, o como la crítica de arte lo hace con las obras plásticas, nosotros aquí también asumiremos un conocimiento previo de los gráficos existenciales (a la espera de [Oostra 2011], los libros [Roberts 1973] y [Thibaud 1982] son en ese sentido los más recomendados). Esto explica el hecho aparentemente peculiar de que, en una monografía sobre gráficos, muy pocos sean los gráficos explícitos que aparecen incluidos en el texto. Entendiendo la monografía como reflexión crítica y no como exposición sistemática, la ausencia de los gráficos resulta más comprensible. Las apariciones de gráficos corresponden así a recordatorios mínimos (pp. 26, 65, 79, 94) o a construcciones no estándar (intuicionistas, pp. 48, 55, 56, 57; modal primer orden, p. 90; modal segundo orden, p. 99).

Al no estar autocontenido y al exigir del lector lecturas previas, este estudio, inevitablemente influenciado por las tendencias ensayísticas del autor, puede incomodar. De hecho, al no estar tan bien delimitado como los volúmenes anteriores sobre los gráficos, el ensayo explora bordes borrosos antinómicos: sin probar nada rigurosamente, se sugieren sin embargo los fondos conceptuales de las pruebas; sin realizar un desglose analítico, se proponen no obstante metáforas filosóficas (siguiendo los métodos de trabajo de Warburg, Cassirer, Benjamin o Blumenberg); sin disecar gramaticalmente los objetos en cuestión, se lanzan cruzamientos etimológicos que impulsan a mirar las variaciones evolutivas y dinámicas de las nociones en juego. El resultado -como sucedía con El continuo peirceano- es lo que quisiéramos llamar una monografía crítica y programática, donde más que soluciones y exposiciones bien acabadas, se enfatizan problemas y se intentan abrir eventuales caminos para la invención.

El capítulo 1 aborda la problemática de los gráficos existenciales como modelo acotado de una lógica del continuo, mucho más general, que recorre todo el pensamiento peirceano. Observamos cómo muchas de las características fundamentales de los gráficos responden de manera precisa a una dialéctica incesante de reflejos y de transmisión de conocimiento a través de fronteras adecuadas. En particular, la regla de iteración/desiteración se erige como uno de los mayores descubrimientos de Peirce, un descubrimiento que ya en sí es profundamente lógico (ligado a una noción de conectivo intuicionista arbitrario), pero que además resulta ser profundamente horótico en un sentido amplio que exploramos en el capítulo.

El capítulo 2 reflexiona sobre la emergencia del sistema ALFA en el Logic Notebook y en las Lowell Lectures, y muestra cómo una dialéctica topológica horótica del recto y el revés guía las mejores intuiciones de Peirce. El grueso del capítulo se orienta, no obstante, a describir los nuevos avances alrededor de ALFA: construcción de gráficos intuicionistas [Oostra 2009, 2010a, 2010b], modelos categóricos para ALFA [Brady & Trimble 2000a], posibilidad de otros modelos alternativos vía variable compleja [Zalamea 2008b]. La riqueza matemática, filosófica y metodológica de estos aportes abre un panorama enteramente nuevo para el desarrollo de los gráficos existenciales en la próxima década.

El capítulo 3 aborda la noción de identidad desde una perspectiva filosófica general. La identidad se asocia a un orden y a una razón subyacentes (logos, de la raíz *leg, recolectar, sintetizar), y, en particular, la línea de identidad BETA recolecta la dialéctica pendular de tránsitos continuos y quiebres discontinuos de información. Observamos cómo las primeras apariciones de la línea de identidad en el Logic Notebook ya contemplan la aporía fundadora central de la matemática, es decir, según Thom, la irresoluble antinomia continuo/discreto, y notamos cómo, desde muy temprano, Peirce detecta la principal falla de BETA: su falta de expresividad para símbolos funcionales. El capítulo termina estudiando los modelos categóricos clásicos para BETA propuestos en [Brady & Trimble 2000b], algunas de cuyas extensiones intuicionistas deben ser de relieve [Zalamea 2010]. El capítulo 4 reflexiona sobre los cálculos modales intermedios obtenidos al acotar una jerarquía de permisos iteración/desiteración para tipos específicos de gráficos GAMA. Las grandes intuiciones de Peirce sobre el revés de la hoja de aserción como ámbito de posibilidades y sobre un libro de hojas como colección de mundos posibles vertebran el capítulo, que concluye con conexiones naturales entre modalizaciones de los gráficos y árboles de Kripke, con ciertos tránsitos modales en la arquitectónica peirceana y con algunas aproximaciones al summum bonum. Finalmente, el capítulo 5, más abierto a la especulación, describe otras vías de extensión de los gráficos existenciales. Permitiendo la variabilidad de tipos (lógicas) y topos (geometrías), se puede llegar a intuir una pragmática sistémica de los gráficos, con reflejos específicos describibles dentro de los topos elementales de Lawvere. Subrayamos cómo ciertas extensiones GAMA se encuentran estrechamente ligadas a algunas de las tareas más profundas de la arquitectónica peirceana, y concluimos esbozando un par de programas de trabajo en esa dirección.

Laboratorio privilegiado del pensamiento tardío de Peirce, los gráficos existenciales constituyen una singular aventura de la inteligencia. Si ésta se puede definir como la capacidad de trans/formar una colección de información dada y producir nueva información relevante, la “inteligencia” puede esquematizarse en el diagrama siguiente como el paso de (1) a (2) mediante técnicas apropiadas (3).

En esa fluctuación, la inteligencia se basa entonces sobre una adecuada solidez disciplinar y una buena preparación, pero no se reduce a ello. La inteligencia requiere también, por un lado, capacidad plástica, capacidad de correlacionar en modos nuevos la información, pero, sobre todo, capacidad creativa, altura original, para construir nuevas formas (usualmente complejas) del saber. De manera asombrosa, los gráficos existenciales peirceanos median en el TRANS, responden a esas exigencias imaginativas de la inteligencia y merecen entenderse como una de las mayores creaciones lógicas de la humanidad.

A nuestro entender, esta monografía provee por vez primera una serie de perspectivas de segundo orden para tratar de entender el panorama de los gráficos existenciales en su multiplicidad plena. Nuestro énfasis consiste en explorar el fondo matemático de los gráficos, pero siempre teniendo en cuenta su cuádruple ramificación natural: lógica, semiótica, filosófica y arquitectónica. El carácter universal de nuestra aproximación va en detrimento de su detallado desarrollo, y, en ese sentido, creemos que esta monografía se completará de manera natural con el esperado trabajo complementario [Oostra 2011]. La conjunción de esos dos textos podrá servir entonces de adecuado colofón a la conformación de una suerte de escuela colombiana de gráficos existenciales (trabajos básicos: [Oostra 2008, 2009, 2010a, 2010b], algunas tesis dirigidas por Oostra en la Universidad del Tolima, [Poveda, [Zalamea 1997, 2001, 2003, 2007, 2008b, 2008c, 2010]). La vida de los gráficos existenciales se encuentra en pleno auge, y las incursiones colombianas en el panorama dejan constancia de ello.

Agradecemos especialmente a Arnold Oostra, con quien, desde el año 1997, empezamos la aventura de adentrarnos en la Terra Incognita de la matemática de los gráficos existenciales. Como alumno primero, luego como colega, y ahora como nuestro Maestro, Oostra ha impulsado con su usual brillantez el estudio de los gráficos en Colombia. Su Seminario Permanente Peirce, en la Universidad del Tolima, es un ejemplo de constancia y tesón, allende circunstancias que podrían parecer bastante poco favorables. El descubrimiento/invención de los gráficos existenciales intuicionistas por parte de Oostra constituye, a nuestro entender, el mayor aporte original a la bibliografía peirceana realizado en la historia entera de los aportes latinoamericanos. Nuestros agradecimientos estrechos van también a Jaime Nubiola, quien, desde el año 2000, no ha dejado de prodigar esfuerzos e invitaciones para que habláramos del continuo peirceano y de los gráficos existenciales en el ambiente paradisíaco de su Grupo de Estudios Peirceanos de la Universidad de Navarra. La amistad que nos une desde entonces y el resultado consiguiente [Nubiola & Zalamea 2006] han sido dos pilares cruciales que nos han impulsado en el campo de los estudios peirceanos. Va también nuestro agradecimiento a los colegas colombianos del Centro de Sistemática Peirceana - CSP, con quienes hemos discutido a menudo el papel especial de los gráficos existenciales dentro del pensamiento de Peirce; debemos aquí gratísima deuda a Roberto Perry, cuyas profundas ideas, disfrazadas en algunos de nuestros argumentos técnicos, recorren incesantemente estas páginas, y cuya invención original del término “horosis” proporcionó la requerida clave de bóveda