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Capítulo |
La ingeniería económica y su importancia |
En este capítulo se tratan los siguientes temas:
• La ingeniería económica
• Definiciones
• Tipos de interés
¿Se imagina usted tener la suerte de obtener hoy mismo el premio mayor de un juego de azar de S/. 200 000? ¿Qué haría con ese dinero? Es muy probable que lo invierta, quizá en activos fijos, tal vez en activos financieros o en un proyecto. Esa inversión generaría rentabilidad en el tiempo: al cabo de un año es muy probable que esos S/. 200 000 valgan más.
Pero ¿qué pasaría si sabe que ese premio se lo darán al finalizar el año? Tendrá que esperar todo ese tiempo para poder usarlo, sin embargo, los tendrá.
Como se ve, el dinero vale más en el tiempo. Esa es la base de la ingeniería económica: el valor del dinero en el tiempo. La importancia de la ingeniería económica radica en entender por qué el dinero cambia en diferentes periodos del tiempo. En un mundo globalizado, donde es importante la toma de decisiones a la brevedad, la ingeniería económica proporciona las herramientas analíticas para evaluar proyectos, lo cual se verá en capítulos subsecuentes.
Objetivos del capítulo:
• Entender el papel de la ingeniería económica en el proceso de la toma de decisiones.
• Comprender las definiciones de la simbología convencional de la ingeniería económica como capital inicial, tasa de interés, interés, número de periodos y valor futuro o valor final.
• Conocer los tipos de interés: interés simple e interés compuesto.
• Calcular el interés nominal y el interés efectivo en uno o más periodos de evaluación.
• Entender la tasa equivalente y las tasas proporcionales.
• Identificar las funciones de Excel que se utilizan en la relación entre tasa de interés nominal y tasa de interés efectiva.
La ingeniería económica es el conjunto de técnicas y herramientas de análisis que, sobre la base de las matemáticas financieras y los resultados cuantitativos respectivos, nos permiten tomar decisiones económicas en busca de la mejor alternativa a nivel empresarial y para nuestra vida personal.
La ingeniería económica se fundamenta en el valor del dinero en el tiempo. Sirve para tomar decisiones sobre inversiones y financiamiento, las cuales se desarrollan en los agentes económicos.
El valor del dinero en el tiempo es la capacidad que se tiene para generar más dinero a lo largo del tiempo. Por ello, el valor de una determinada cantidad hoy, invertida a una tasa de interés y en un periodo de tiempo, tendrá un valor diferente al final de dicho periodo.
Diariamente nos vemos en situaciones de incertidumbre, que conllevan alguna decisión económica que nos afecte a futuro. Por ejemplo:
• La compra hoy en efectivo de un terno, implica no disponer del efectivo para otras compras.
• El pago adelantado (a descuento) de la pensión anual del colegio de nuestros hijos, conlleva que vamos a pagar menos, pero esta decisión resta efectivo en el tiempo actual.
• La obtención de un préstamo hipotecario a 15 años es una decisión con beneficios en el presente, porque dispondremos de una vivienda casi automáticamente. Sin embargo, implica una deuda durante quince años, a pagar en cuotas mensuales. Lo mismo sucede con los préstamos vehiculares, pero en una menor cantidad de tiempo.
• Una persona o empresa formalmente constituida que requiere solicitar un préstamo bancario, buscará la fuente más barata de financiamiento, en aquel banco que le cobre menos. Para este caso, si bien la ingeniería económica considera la tasa efectiva anual (TEA) más barata, en la vida real los bancos cobran comisiones que las personas y las empresas deben considerar al momento de tomar su decisión. En el Perú, la tasa de cobro incluyendo las comisiones que cobra el banco se denomina tasa de costo efectivo anual (TCEA).
Pero la ingeniería económica no solo se refiere a necesidades de financiamiento, también plantea necesidades de inversión. Por ejemplo:
• El ahorrista que deposita su dinero en el banco espera el pago de un interés mayor. Lo lógico es que busque aquel banco que le ofrece una mayor tasa de interés efectiva, luego de calcular comisiones cobradas por el banco. Similar al caso anterior, la rentabilidad que ofrece el banco descontando las comisiones se denomina tasa de rendimiento efectivo anual (TREA).
• El inversionista que coloca de la mejor forma sus fondos, debe decidir por la alternativa más rentable.
• El financista de una empresa debe decidir en qué proyecto invertir, sobre todo porque muchas empresas cuentan con capital limitado, por lo que a veces solo se puede invertir en un único proyecto.
En los diferentes casos hay beneficios cualitativos que se deben tomar en cuenta para cualquier decisión.
Es una medida del valor del dinero en el tiempo. Se trata de la retribución dada al prestamista (quien presta) por dejar de utilizar el dinero para prestarlo o el pago que realiza el prestatario (quien recibe el préstamo) por el uso del dinero. A menos que se establezca lo contrario, la unidad de tiempo convenida es un año.
Es la cuantificación del dinero en el tiempo. Corresponde a la cantidad generada u obtenida por el uso del dinero en un préstamo o inversión en una determinada cantidad de tiempo. Es decir, es el resultado de aplicar una tasa de interés a un capital.
Para realizar los cálculos matemáticos en ingeniería económica, vamos a utilizar la simbología convencional.
P |
= |
capital inicial prestado o invertido |
I |
= |
interés obtenido al final del periodo |
i % |
= |
tasa de interés (o también llamado i pero se expresa en porcentaje) |
n |
= |
número de periodos que dura la inversión o préstamo |
F |
= |
valor futuro o valor total al finalizar los “n” periodos. Este valor contempla el capital inicial prestado o invertido (P) más el interés obtenido. Es decir: F = P + I |
A |
= |
valor constante de una cuota o pago uniforme. Los flujos son ininterrumpidos e iguales en todos los periodos. |
En matemática financiera, el año base suele considerarse como un año ordinario de 360 días, con la finalidad de simplificar cálculos. Sin embargo, si tenemos las fechas exactas para determinar el interés exacto, se puede utilizar un año base de 365 días (o 366 en los años bisiestos).
Para la descripción de ambos tipos de interés (simple y compuesto) utilizaremos el interés a tasa vencida, es decir, cuando se paga al vencimiento.
Existe también interés pagado adelantado, tema perteneciente a las finanzas, que no se analizará en el presente acápite.
Es el interés que se calcula sobre el capital original.
El monto de interés simple está dado por la siguiente fórmula:
I = C × i × n
Ejemplo 1.1
Determinar el interés anual de un préstamo de US$ 1000 a una tasa simple de 10 % anual.
Solución
Se realiza de la siguiente manera:
I = 1000 × 10 % × 1 = 100.
Ejemplo 1.2
Determinar el interés anual de un préstamo de US$ 1000 a una tasa simple de 5 % semestral.
Solución
De esta forma:
I = 1000 × 5 % × 2 = 100
Como se puede apreciar, el interés generado es únicamente sobre el importe original del préstamo.
Ejemplo 1.3
Determinar el interés anual de un préstamo de US$ 1000 a una tasa simple de 2,5 % durante 45 días.
Solución
En este caso, 
porque en un año de 360 días hay ocho periodos de 45 días.
Aplicando la fórmula:
I = 1000 × 2,5 % × 8 = 200
En los tres ejercicios anteriores hemos calculado solo el importe del interés (I), pero ¿qué pasa si queremos determinar el valor final o valor futuro (F)? Para conseguirlo, utilizamos esta fórmula.
F = P × (1 + i × n)
Aplicando las fórmulas en los ejemplos 1.1, 1.2 y 1.3, tenemos:
• Valor final del ejemplo 1: F = 1000 × (1 + 10 % × 1) = 1100
• Valor final del ejemplo 2: F = 1000 × (1 + 5 % × 2) = 1100
• Valor final del ejemplo 3: F = 1000 × (1 + 2,5 % × 8) = 1200
Es aquel interés que se capitaliza, pasa a ser parte del capital principal y es base de cálculo para futuros intereses.
El valor futuro de un interés compuesto está dado por la siguiente fórmula:
F = P × (1 + i)n
Si queremos hallar únicamente el importe del interés, le descontamos el importe inicial.
I = F – P
Es decir, si queremos hallar únicamente el interés compuesto, se tiene:
I = P × (1 + i)n – P
I = P × [(1 + i)n – 1]
Ejemplo 1.4
Determinar el interés de un préstamo de US$ 100 a una tasa compuesta de 10 % anual durante 3 años.
Solución
De esta forma:
• Paso 1: hallar el importe final. Se aplica la fórmula.
F = 100 × (1 + 10 %)3 = 133,1
• Paso 2: restamos el importe inicial.
Interés = 133,1 – 100 = 33,1
Es decir, en 3 años se paga US$ 33,1 por concepto de interés.
¿Cómo funciona el interés compuesto?
Tomando como base dicho ejemplo, se observa que inicialmente el préstamo es de US$ 100. Al finalizar el primer año y debido al interés, ya no se debe US$ 100, sino US$ 110 (US$ 100 × 10 %).
Como se puede ver, al finalizar el primer año se debe US$ 110, por lo que el interés acumulado al segundo año se calcula sobre US$ 110 y no sobre US$ 100, como en el interés simple. De esta manera, al cabo del segundo año el interés corresponde al 10 % de US$ 110, lo que nos da un total de US$ 121.
Para calcular el interés acumulado al finalizar el tercer año, calculamos el 10 % de US$ 121 (que es el saldo de lo que se debe al finalizar el segundo año), lo que nos da un total de US$ 133,1. Este es el importe total de la deuda al finalizar el tercer año.
Ejemplo 1.5
El señor Ortiz deposita un importe de $ 5000 en el banco, el cual le paga una tasa compuesta de 2 % anual. ¿Cuánto tendrá el Sr. Ortiz al finalizar el segundo año?
Solución
Aplicando la fórmula:
F = 5000 × (1 + 2 %)2= US$ 5202
La tasa de interés nominal es una tasa expresada en un solo periodo de tiempo y no considera la capitalización. Se basa en la tasa de interés simple.
En la conversión de la tasa nominal de un periodo a otro, dado que no consideramos capitalización, la conversión se hará mediante una multiplicación simple.
Tasa nominal2 = tasa nominal1 × n
Ejemplo 1.6
Si la tasa nominal semestral es 8 %, ¿cuánto será la tasa nominal anual?
Solución
Para pasarlo a anual, debemos calcular n. Si queremos pasar de semestral a anual, entonces sabemos que un año tiene dos semestres, por lo que el número de periodos sería 2. De esta manera, utilizamos la fórmula antes mencionada.
Tasa nominal anual = tasa nominal semestral × 2
Tasa nominal anual = 8 % × 2 = 16 %
Para calcular n se debe tener en cuenta los n periodos que presenta el periodo solicitado. Es decir:
• Si se quiere obtener la tasa anual y tenemos la tasa semestral, n sería 2.
• Si se busca la tasa anual y tenemos la tasa trimestral, n sería 4.
• Si se quiere calcular la tasa trimestral y tenemos la mensual, n sería 3.
• Si se quiere obtener la tasa trimestral y tenemos la tasa anual, n sería 
• Si se busca la tasa diaria y tenemos la tasa anual, n sería 
Ejemplo 1.7
Si la tasa nominal anual es 16 %, ¿cuánto será la tasa nominal trimestral?
Solución
Tasa nominal trimestral = tasa nominal anual × 
Esto debido a que un año tiene cuatro trimestres.
Por tanto, la tasa nominal trimestral = 4 %.
La tasa de interés efectiva es la tasa aplicable a cierto periodo de tiempo, pero considera la capitalización. Se basa en la tasa de interés compuesta. Debido a que consideramos la capitalización, la conversión se hará mediante la siguiente fórmula:
tasa efectiva2 = (1 + tasa efectiva1)n – 1
Ejemplo 1.8
Si la tasa efectiva semestral es 8 %, ¿cuánto será la tasa efectiva anual?
Solución
En este caso n = 2, y aplicamos la fórmula.
Tasa efectiva2 = (1 + tasa efectiva1)n – 1
Tasa efectiva anual = (1 + tasa efectiva semestral)2 – 1
Tasa efectiva anual = (1 + 8 %)2 – 1 = 16,64 %
Ejemplo 1.9
Si la tasa efectiva anual es 16 %, ¿cuál será la tasa efectiva trimestral?
Solución
Tasa efectiva trimestral = (1 + 16 %)1/4 – 1 = 3,78 %
Ejemplo 1.10
Un cliente ahorrista requiere que usted le ayude a calcular la tasa de interés efectiva anual, asumiendo que la tasa de interés que paga el Banco Mi Perú es 1,2 % efectiva mensual.
Solución
La tasa nominal no se utiliza en las fórmulas de matemática financiera, pero es una forma de expresar la tasa efectiva.
Se sabe que:
i % nominal por n periodos |
= |
(i % nominal por periodo) (n periodos) |
i % efectiva por n periodos |
= |
( (1 + i % efectiva por periodo de capitalización)^n) – 1 |
Donde ^ es el símbolo de potencia.
Para hallar una tasa efectiva a partir de una tasa nominal, debemos dividir la tasa nominal entre el número de periodos de capitalización respectivo.
De esta forma:
El método también se puede desarrollar a través de Excel. En este caso se presenta la función INT.EFECTIVO; si se conoce la tasa nominal y los periodos de capitalización, se devuelve la tasa efectiva:
INT.EFECTIVO(tasa_nominal;num_per_año).
Esta función permite obtener la tasa de interés efectiva en el “mismo periodo” de la tasa de interés nominal. Es decir, si se utiliza la función INT.EFECTIVO y se ingresa como dato la tasa nominal anual, el resultado será la tasa de interés efectiva anual. En este caso los periodos de capitalización serán los considerados en 1 año.
Si se ingresa como dato la tasa nominal semestral, el resultado será la tasa de interés efectiva semestral. En este caso los periodos de capitalización serán los considerados en un semestre.
Ejemplo 1.11
Convertir una tasa de 12 % nominal anual capitalizable mensualmente a una tasa efectiva.
Solución
Si se utiliza la función INT.EFECTIVO, dará como resultado el interés efectivo anual si se ingresa la tasa de interés nominal anual.
=INT.EFECTIVO(12%;12) |
|
=12,68% |
tasa de interés efectiva anual |
Ejemplo 1.12
Convertir una tasa de 8 % nominal semestral, capitalizable trimestralmente a tasa efectiva.
Solución
i % = 8,00 % nominal semestral, capitalizable trimestralmente
1 semestre tiene: 2 trimestres
i % efectiva trimestral = 4,00 % = 
Si se utiliza la función INT.EFECTIVO, dará como resultado el interés efectivo semestral si se ingresa la tasa de interés nominal semestral.
=INT.EFECTIVO(8%;2) |
|
=8,16% |
Tasa de interés efectiva semestral |
Ejemplo 1.13
Convertir una tasa de 8 % nominal semestral, capitalizable quin cenalmente a tasa efectiva.
Solución
i % = 8,00 % nominal semestral, capitalizable quincenalmente
1 semestre tiene: 12 quincenas =
i % efectiva quincenal = 0,67 %
Si se utiliza la función INT.EFECTIVO, dará como resultado el interés efectivo semestral si se ingresa la tasa de interés nominal semestral y el periodo de capitalización quincenal.
=INT.EFECTIVO(8%;12) |
|
= 8,30% |
Tasa de interés efectiva semestral |
El Excel facilita el cálculo de la tasa nominal considerando la tasa efectiva y el número de periodos de capitalización. Lo permite mediante la función:
=TASA.NOMINAL (tasa_efect; num_per_año).
Esta función permite obtener la tasa de interés nominal en el “mismo periodo” de la tasa de interés efectiva. Es decir, si se utiliza la función TASA.NOMINAL y se ingresa como dato la tasa efectiva anual, el resultado será la tasa de interés nominal anual. En este caso, los periodos de capitalización serán los considerados en 1 año.
Si se ingresa como dato la tasa efectiva semestral, el resultado será la tasa de interés nominal semestral. En este caso, los periodos de capitalización serán los considerados en un semestre.
Ejemplo 1.14
Calcular la tasa nominal anual capitalizable mensualmente para una tasa efectiva anual de 18 %.
Solución
Según lo anterior, los periodos de capitalización en un año son 12, dado que 1 año tiene 12 meses
Ejemplo 1.15
Calcular la tasa nominal semestral capitalizable trimestralmente para una tasa efectiva anual de 18 %.
Solución
Dado que los datos deben tener la misma periodicidad del resultado, la tasa efectiva anual debe convertirse a efectiva semestral para utilizar la función Tasa.nominal.
Tasa efectiva semestral = (1 + 18 %)(1/2) –1 = 8,63 %
La tasa nominal semestral capitalizable trimestralmente se calculará:
=Tasa.nominal(8,63%;2) = 8,45%.
Tome en cuenta que el 8,63 % incluye sus respectivos decimales.
Se dice que dos tasas son equivalentes cuando operan en condiciones diferentes y dan el mismo resultado efectivo. Es decir, se trata de tasas que con diferente periodicidad, producen el mismo interés efectivo anual; normalmente se considera un año, pero puede compararse en otro periodo.
Ejemplo 1.16
Calcular las tasas equivalentes a la TEA de 24 %.
Solución
Tasa efectiva mensual: 12 meses |
|
|
Tasa mensual = (1 + 24 %)^(1/12) – 1 |
= |
1,81 % |
Tasa efectiva trimestral: 4 trimestres |
|
|
Tasa trimestral = (1 + 24 %)^(1/4) – 1 |
= |
5,53 % |
Tasa efectiva semestral: 2 semestres |
|
|
Tasa semestral = (1 + 24 %)^(1/2) – 1 |
= |
11,36 % |
Tasa efectiva diaria: 360 días |
|
|
Tasa diaria = (1 + 24 %)^(1/360) – 1 |
= |
0,06 % |
Una tasa efectiva de 1,81 % mensual es equivalente a una tasa de 5,53 % efectiva trimestral, porque si se anualiza ambas tasas, dan idéntico resultado: 24 %. Lo mismo sucede con las otras tasas calculadas para el ejemplo 1.16. Es decir, una tasa de 0,06 % diaria es equivalente a una tasa de 11,36 % efectiva semestral o a una tasa de 1,81 % efectiva mensual.
Se dice que dos tasas son proporcionales si la tasa nominal subperiódica es igual a la tasa nominal dividida entre el número de periodos.
Ejemplo 1.17
Calcular las tasas proporcionales a la tasa nominal semestral de 12 %.
Solución
Tasa nominal mensual: Un semestre tiene 6 meses |
||
Tasa mensual = 12 % / 6 |
= |
2,00 % |
Tasa nominal trimestral: Un semestre tiene 2 trimestres |
||
Tasa trimestral = 12 % / 2 |
= |
6,00 % |
Tasa nominal diaria: Un semestre tiene 180 días |
||
Tasa diaria = 12 % / 180 |
= |
0,0667 % |
Es decir, una tasa nominal de 2 % mensual es proporcional a una tasa nominal trimestral de 6 % y proporcional a una tasa nominal semestral de 12 %.
Tasa de interés que considera el índice inflacionario. Esto significa que toma en cuenta la pérdida de valor del dinero a causa de la inflación.
La relación entre la tasa corriente y real se obtiene de la siguiente fórmula, que se verá con detalle en el capítulo 10.
Ejemplo 1.18
Calcular la tasa real sabiendo que un banco ofrece una tasa corriente de 12 % al año y el índice inflacionario anual se estima en 5 %.
Solución
Reemplazando:
1. ¿En cuánto tiempo se duplica una cantidad de dinero al 5 % de tasa de interés simple?
Solución
Llamemos a una cantidad de dinero: P.
Tasa de interés: 5 %
Periodos: n
Se utiliza la fórmula F = P + I y la fórmula de interés simple.
I = P × i % × n.
P + I = 2P
P + (P × i % × n) = 2P
P (1 + i % × n) = 2P
(1 + i % × n) = 2
Despejando P:
P = 20 periodos.
2. ¿En cuánto tiempo se duplica una cantidad de dinero al 5 % de tasa de interés compuesto?
Solución
Llamemos a una cantidad de dinero: P.
Tasa de interés: 5 %
Periodos: n
Utilizando la fórmula F = P + I y la fórmula de interés compuesto.
I = P × [(1 + i)n– 1]
P + P × [(1 + i)n– 1] = 2P
P × (1 + i)n= 2P
(1 + i)n= 2
1,05n= 2
Despejamos utilizando logaritmo de 2 en base 1,05. Nos da:
n = 14,2 periodos.
También se puede utilizar la función log en Excel.
Para el presente ejemplo: log(2;1,05) = 14,2 periodos
3. Asumiendo que la tasa de interés efectiva anual es 13 % capitalizable cada año, ¿cuál es la cantidad mínima de dinero que tendría que invertir por un periodo de tres años para ganar S/. 750 de interés?
Solución
Llamemos a una cantidad de dinero: P.
Tasa de interés efectiva: 13 % anual
I = S/. 750
n: 3 años
Utilizando la fórmula de I.
I = P × [ (1 + i)n– 1 ]
I = P × [(1 + 13 %)3– 1] = S/. 750
Despejando P = S/. 1693,4.
Se requiere invertir S/. 1693,4 para obtener S/. 750 de interés luego de un año.
4. Usted quiere obtener S/. 51 000 de utilidad, con una rentabilidad de 2,5 % efectiva mensual. Si se considera que los años tienen 360 días, ¿cuánto tiempo deberá invertir?
a) 2 años
b) 9 trimestres
c) 148 días
Solución
Llamemos P a una cantidad de dinero.
Tasa de interés efectiva: 2,5 % mensual
I = S/. 51 000
Utilizando la siguiente fórmula de I = P × [ (1 + i)n – 1 ].
a) Periodo: 2 años
Como la tasa es mensual, n debe representar los 2 años, es decir,
n = 24 meses.
Utilizando la fórmula de I.
I = P × [(1 + i)n- 1]
I = P × [(1 + 2,5 %)24 – 1] = S/. 51 000
P = S/. 63 062,15
b) Periodo: 9 trimestres
Como la tasa es mensual, n debe representar los 9 trimestres. Esto significa que: n = 27 meses.
Utilizando la fórmula de I.
I = P × [(1 + i)n– 1]
I = P × [(1 + 2,5 %)27 – 1] = S/. 51 000
P = S/. 53 808,82
c) Periodo: 148 días
Como la tasa es mensual, n debe representar los 148 días, es decir, debe responder a la pregunta: ¿cuántos meses hay en 148 días?
Utilizando la fórmula de I.
I = P × [(1 + i)n– 1]
I = P × [(1 + 2,5 %)(148/30) – 1] = S/. 51 000
P = S/. 393 678,75
5. ¿Cuál es la tasa nominal trimestral capitalizable mensualmente si la tasa efectiva bimestral es 2 %?
Solución
Se pasa la tasa efectiva bimestral a tasa efectiva trimestral.
Tasa de interés efectiva trimestral = (1 + 2 %)(3/2) – 1 = 3,01 %
Para hallar la tasa nominal trimestral se utilizará la función tasa.nominal.
=TASA.NOMINAL(3,01%;3) = 2,99%
Son tres periodos de capitalización, dado que en un trimestre hay tres meses.
6. Hallar la tasa efectiva anual sabiendo que la tasa nominal es 7 % semestral capitalizable quincenalmente.
Solución
Utilizando la función Int.efectivo e ingresando como dato la tasa nominal semestral, se hallará la tasa efectiva semestral.
=INT.EFECTIVO(7%;12) = 7,23%
Se calcula la TEA:
TEA = (1 + 7,23 %)2 – 1 = 14,98 %
Capítulo |
Factores de cálculo de la ingeniería económica |
En este capítulo se tratan los siguientes temas:
• Factores de pago único (F/P y P/F)
• Factores de recuperación y actualización de una serie uniforme (A/P y P/A)
• Factores de amortización y capitalización de una serie uniforme (A/F y F/A)
• Factores de gradiente aritmético (P/G, F/G y A/G)
• Diagrama de flujo de efectivo
• Funciones de Excel utillizadas en matemática financiera
En el capítulo 1 se definió la tasa de interés, la misma que es necesaria para entender cómo esta, sumada al tiempo, afecta al dinero. Este capítulo explica el factor de pago único, base de los diversos factores de cálculo, que muestra que un valor hoy es diferente a un valor futuro luego de n periodos, debido al interés generado.