ciencia y técnica
por
QA303.2
F73
2011 Franco, Jorge
Cálculo : el verbo del cosmos / por Jorge Franco. — México: Siglo XXI, 2011.
160 p. — (Ciencia y técnica)
ISBN-13: 978-607-03-0295-4 (ed. impresa)
1. Cálculo – Estudio y enseñanza (Secundaria). I. t. II. ser
primera edición, 2011
978-607-03-0295-4 (ed. impresa)
© siglo xxi editores, s.a. de c.v.
isbn 978-607-03-0553-5 (libro electrónico)
derechos reservados conforme a la ley
A Olivia, escritora vigorosa,
Víctor, matemático intenso,
Carol, artista inspirada
que dibujó las figuras del libro
Gracias a la habilidad y paciencia de Maia Fernández, que digitalizó inmejorablemente las figuras originales hechas a mano, y gracias, también, a la perseverancia y diligencia de María Oscos, es que fue factible, en gran medida, esta publicación.
Movimiento y cambio son la esencia de la vida. La invención del cálculo en el siglo XVII posibilitó el estudio formal de ambas acciones. Ese logro matemático marcó un hito en la historia de la humanidad. A través del cálculo se pudo entender mejor el mundo en el que vivimos ya que, finalmente, se logró manejar sistemáticamente lo infinito —lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande— del universo.
Es asombroso comprobar cómo el cálculo infinitesimal y, en sí, las matemáticas, son consistentes con el cosmos. Estas disciplinas no sólo describen el comportamiento de una galaxia y la de un átomo sino que también pronostican sus desarrollos posteriores. Algunos matemáticos y astrónomos se preguntan si las matemáticas son realmente independientes del razonamiento humano, como lo es el mundo físico, o son un producto de la mente que mágicamente se ajusta a los fenómenos naturales y a los eventos meramente humanos, como la economía y la bolsa de valores, por ejemplo.
El entendimiento pleno de la naturaleza requiere de formulación matemática. La íntima relación entre las matemáticas y el cosmos es un hecho comprobado aunque, al mismo tiempo, sigue siendo un profundo misterio. Parece increíble que unas cuantas ecuaciones describan con pasmosa exactitud el comportamiento del universo. El físico británico James Jeans (1877-1946) alguna vez dijo: “El universo parece haber sido diseñado por un matemático puro.” Einstein, a su vez, preguntaba asombrado: “¿Cómo es posible que las matemáticas, un producto del pensamiento humano que es independiente de la experiencia, se adecue tan excelentemente a los objetos de la realidad física?”
Es realmente notable que el lenguaje de las matemáticas pueda formular con extrema precisión las leyes de la física. La validez de la ecuación de la ley de gravitación universal de Newton, por ejemplo, ha sido confirmada a una distancia de tan sólo 56 milésimas de milímetro, con una precisión en el rango de diez milésimas de porcentaje. Es decir, la atracción gravitacional decrece como el cuadrado inverso de la distancia entre dos objetos, no importa cuán retirados o cerca estén el uno del otro. La teoría general de la relatividad de Einstein acabó de explicar el fenómeno invisible de la fuerza gravitatoria con una precisión del 99.95 por ciento. De modo similar, el físico escocés James Maxwell pudo formular, en tan sólo cuatro ecuaciones, una de las cuatro fuerzas de la naturaleza: el electromagnetismo.
Las matemáticas no sólo explican los fenómenos físicos, sino que también apoyan el mundo de los negocios y de las finanzas. Pero muy especialmente, por encima de todo, el cálculo es el descriptor de la acción en el universo, es decir, es el verbo, mientras que las otras ramas de las matemáticas vienen siendo el sujeto y el complemento del lenguaje del cosmos. ¡Qué profunda experiencia tendremos cuando empecemos a descifrar el libro enigmático de la naturaleza!
Si observamos el vecindario cósmico, alrededor del 74% de las galaxias son espirales, mientras que un 25% son elípticas. Sólo el 1% presenta una forma irregular que no entra en la clasificación general. A propósito, los astrónomos descubrieron que nuestra galaxia, la Vía Láctea, tiene cuatro brazos en su magna espiral (en vez de los dos que se creía) donde, por cierto —al igual que en su mega agujero negro—, se están formando nuevas estrellas más grandes que el Sol.
Las características más relevantes del universo son su energía y el movimiento permanentes. La Tierra da vueltas sobre su eje y viaja alrededor del Sol y, junto con la Vía Láctea, gira alrededor de un inmenso agujero negro central a una velocidad de 960 mil kilómetros por hora. Corroborando el evidente escenario matematizado del universo, los objetos en el cosmos se mueven a lo largo de curvas espirales o cónicas. Los planetas, en particular, prefieren hacerlo elípticamente, mientras que la Luna y los objetos terrestres caen en trayectorias parabólicas. Las galaxias son figuras geométricas que se expanden en forma exponencial. El universo es geométrico y dinámico. Einstein formuló su extraordinaria teoría de la relatividad general describiendo la fuerza de gravedad como producto de una geometría tetradimensional espacio-tiempo.
El enfoque inicial del libro es intuitivo, para gradualmente volverse más formal. En general, el plan de exposición es partir de la visión gráfica de las funciones matemáticas que generalmente usa el cosmos y, después, llegar a la abstracción de los conceptos del cálculo. Además se hace hincapié en que algunas de las gráficas pueden representar algún evento de la vida real. Uno de los objetivos primordiales es lograr que el lector (maestro o alumno) entienda los conceptos primordiales del cálculo y perciba, finalmente, su entrañable belleza y armonía, no digamos su utilidad.
Por otro lado, debemos darnos cuenta de que vivimos en una nueva época en la que el recurso conocimiento sobrepasa, en valor, a los tradicionales recursos económicos. El conocimiento es adquirido a través del estudio sistemático de temas considerados fundamentales, como el lenguaje, la historia, la ciencia y las matemáticas. Para ello es muy conveniente conseguir información adicional acerca de éstos y otros temas a través del uso interactivo de Internet mediante cualquiera de los nuevos dispositivos electrónicos como celulares, tabletas o netbooks, en forma complementaria al modo común de aprendizaje en la escuela tradicional.
A propósito, es muy probable que antes de que termine la segunda década del siglo XXI (2011-2020), la humanidad cuente con una red social especial que, a través de un lenguaje común y agentes cibernéticos inteligentes, ayude a cualquier individuo que se lo proponga a obtener y compartir la información requerida para un aprendizaje interactivo, rumbo a un conocimiento novedoso y útil. La nueva web semántica será como un colosal cerebro digital —con miles de millones de “neuronas” interconectadas— que podrá utilizarse como una extensión del nuestro, del mismo modo que las máquinas de la era industrial fueron una expansión de nuestros músculos.
Después de revisar medio centenar de gruesos tabiques sobre cálculo diferencial e integral y de comprobar que todos ellos fueron escritos originalmente en inglés, y que los autores de libros de texto correspondientes se han encargado de abultar el material con miles de ejercicios, agregando, de paso, una capa de misterio (provocando la consabida angustia matemática), surgió la idea de hacer un libro en español que fuera sumamente sencillo de comprender (aunque sin descuidar la formalidad y rigor de un tema lógico-matemático) y que le mostrara al lector los conceptos clave en forma amena y sucinta, resaltando periódicamente lo que va siendo esencial en su estudio. Un ejemplo de esto es cuando se lee: para aprender lo fundamental del cálculo sólo es necesaria la comprensión de cuatro conceptos: función, límite, derivada e integral.
En resumen, este libro está escrito para maestros de matemáticas básicas y para cualquier estudiante que esté cursando el tercer año de secundaria en adelante y que desee comprender sin temor el fascinante tema del cálculo.
La teoría del caos, la geometría fractal, la neurobiología, la digitalización multimedia y la nanotecnología son ejemplos de nuevos campos de investigación y desarrollo que tienen un gran porvenir y belleza al mismo tiempo. Sólo hay que percatarse de que todos ellos requieren del cálculo integral y diferencial.
Las grandes diferencias que suceden en la naturaleza (de temperatura, presión, fuerza, electrones) son fuentes de todo movimiento, tales como el de las placas tectónicas, los ciclones, las corrientes eléctricas y marítimas y demás. El estudio riguroso del movimiento y del cambio en la Tierra y en el cosmos es posible gracias al cálculo, de la misma manera en que la geometría es el estudio del espacio. El cálculo puede medir con extrema precisión cualquier cambio, por más fugaz que sea. Sólo así se entiende que las leyes físicas, en su forma de ecuaciones diferenciales, se ajusten asombrosamente a la realidad. De ahí la fascinación de poder comprender el universo a través del cálculo.
En una primera aproximación, el concepto fundamental del cálculo se puede sintetizar usando la siguiente gráfica f, una parábola (por cierto, una de las curvas favoritas de la naturaleza):
Gráfica de la parábola: y = x2 (curva f).
El cálculo diferencial e integral se puede resumir conceptualmente en tan sólo dos preguntas y sus respuestas, relativas a esta gráfica parabólica:
Las respuestas correspondientes e informales son:
1. Es la suma total (integración) de las minúsculas áreas de los rectángulos en que se puede dividir la superficie debajo de la curva en el intervalo [0, 2]. Esta operación está representada por el nuevo símbolo:
2. El grado de inclinación de la tangente a f, en x = 2, representa la velocidad instantánea con que cambia la curvatura en ese punto. El proceso de medir dicha inclinación está representado por el símbolo formado por el cociente de dos diferenciales:
Los procesos de integrar y derivar son dos operaciones matemáticas avanzadas que, junto con las básicas de sumar, restar, multiplicar y dividir, constituyen las herramientas idóneas para avanzar en el conocimiento científico de los eventos que cambian continuamente en la naturaleza. En algún momento, más adelante, se mostrará que, al igual que la resta es la inversa de la suma y la división lo es de la multiplicación, la diferenciación es la inversa de la integración (¡sorprendentemente!).
El cálculo es una pieza fundamental de las matemáticas. Del cálculo se han derivado múltiples ramas nuevas como el análisis matemático y el análisis funcional o integrales funcionales, las cuales sirven para explicar y resolver los complejos fenómenos del cosmos, incluyendo la enigmática mecánica cuántica.
La humanidad tardó miles de años en inventar el cálculo, ese algo matemático que le permitiera empezar a comprender genuinamente el comportamiento del universo al poder medir con precisión el movimiento elipsoidal de los planetas y los cometas, la caída parabólica de objetos hacia el centro de la Tierra, las mareas, la trayectoria de proyectiles y rayos solares, etcétera. En contraposición, ahora podemos, en un tiempo mínimo, entender y emplear en múltiples campos esta extraordinaria herramienta.
Lo que hacemos cotidianamente implica cambios, movimientos y crecimientos, junto con resistencias, desaceleración y decaimiento. Por lo tanto, es muy ventajoso contar con el poderoso instrumento del cálculo, que nos ayuda a medir y predecir los sucesos que nos importan, ya sea que seamos físicos, químicos, ingenieros, sociólogos, inversionistas o estudiantes de cualquier disciplina, incluyendo el arte (como la música, con su escritura especial).
Antes de la invención del cálculo las matemáticas eran como las imágenes fijas de la fotografía, sin el movimiento del video. La aritmética, el álgebra y la geometría estudian los números y las figuras en su forma estática. Sin embargo, los procesos y los elementos que queremos medir en la vida diaria tienen movimiento, lo cual implica desplazamiento en el espacio y el tiempo. A su vez, este cambio o velocidad con que suceden las cosas también sufren cambios, es decir, se aceleran o cambian de dirección, como cuando despega un avión o cuando preguntamos con qué velocidad crece una colonia de bacterias o cuál es el interés compuesto de nuestros depósitos bancarios.
El cálculo fue inventado, coincidente e independientemente, por el científico inglés Isaac Newton en 1665 y por el filósofo alemán Gottfried W. Leibniz, diez años después. Fue una maravillosa invención que consolidó la ciencia moderna. El cálculo trajo orden al pensamiento anárquico de los físicos anteriores a Newton. En su obra suprema, Principios matemáticos de filosofía natural, Newton sugiere que el universo, en todos sus aspectos, está coordinado por un “gran plan” que consiste en un conjunto de leyes matemáticas que explica y predice los fenómenos naturales.
El cálculo diferencial e integral es la rama de las matemáticas que trata sobre cantidades que pueden cambiar infinitamente. A través del cálculo es posible visualizar lo invisible, como por ejemplo la fuerza de gravedad. Nuestro entorno y el universo son multidimensionales, y la medición de las fuerzas naturales es continuamente cambiante. Los cambios pueden dispararse de un instante a otro. Las mediciones correspondientes pueden ser representadas en una gráfica compuesta de innumerables puntos que reflejan los estados cambiantes de eventos cotidianos o físicos, siendo el cálculo infinitesimal el procedimiento ideal para analizarlos rigurosamente.
El movimiento implica desplazamiento en el espacio en un determinado tiempo. Así, por ejemplo, cuando un objeto cae a la Tierra desde una cierta altura su posición y velocidad cambian continuamente. Lo mismo puede decirse de un automóvil que viaja en diferentes direcciones y velocidades, a ratos a una velocidad constante para luego acelerar o parar, cambiando así de velocidad.
El cálculo se divide en dos partes complementarias entre sí: cálculo diferencial y cálculo integral. El cálculo diferencial es el proceso de calcular la pendiente de una tangente a una cierta curva, para lo cual se determina el límite de una razón de minúsculas diferencias de x y de y (de ahí lo de diferencial). El cálculo integral, por su parte, estudia la suma total (o integral) de las áreas de los infinitos y minúsculos rectángulos que integran el área bajo una curva. La definición formal de límite matemático se verá más adelante.
Entre los muchos cambios cotidianos que requieren medirse está, por ejemplo, el de un automóvil en movimiento. Digamos que a las 7 a. m. estaba en el kilómetro 30 de una cierta carretera y que a las 10 a. m. se encontraba en el kilómetro 330. Se dice, entonces, que su velocidad promedio es de 100 kilómetros por hora, es decir:
(330 – 30) km = 300 km
(10 – 7) h = 3 horas.
(1)
Esta razón o proporción de cambio da información sobre cómo se desplaza el automóvil. Sin embargo, es interesante saber a qué velocidad iba, digamos, a las 9 de la mañana en punto. Es decir, cuál era la velocidad en el instante 9 a. m. Medir esta “velocidad instantánea”, en vez de “velocidad promedio”, nos obliga a tomar varias medidas alrededor de las 9. Con estas mediciones se puede formar una serie de múltiples cocientes, al modo de la fórmula (1), cuyos numeradores serían las diversas diferencias de distancias, divididos entre los correspondientes denominadores de diferencias del tiempo transcurrido, cada vez más pequeños.
Antes de proseguir con este importantísimo concepto de “velocidad instantánea” tenemos que detenernos a estudiar los conceptos indispensables de función y de límite.