ARGUMENTOS DUALES:
EL PRINCIPIO DE DUALIDAD COMO UNA ESTRUCTURA ARGUMENTATIVA
Argumentos duales: el principio de dualidad como una estructura argumentativa
Resumen
En filosofía muchas veces encontramos familias de argumentos, esto es, clases de argumentos que pueden ser parientes en virtud ya sea de su estructura, de las discusiones en las que están inmersos o de las tesis que pretenden defender. En esta obra se intenta identificar una nueva familia de argumentos que antes no se había señalado explícitamente. Más específicamente, se pretende sacar a la luz que hay ciertos argumentos que comparten una estructura que tiene grandes cercanías con el principio de dualidad de la geometría proyectiva y que, por eso mismo, podríamos denominar argumentos duales. Con este objetivo en mente, en este trabajo se toman cuatro argumentos, que han sido de gran importancia en filosofía analítica, para tratar de señalar que, a pesar de que estaban inmersos en discusiones distintas y trataban de responder a diferentes problemas, estos comparten una misma estructura. Dichos argumentos son: (i) el acertijo de la inducción de Goodman; (ii) la indeterminación de la referencia Putnam; (iii) la indeterminación de la traducción de Quine y (iv) la paradoja del seguimiento de reglas de Wittgenstein.
Palabra clave: Filosofía, teoría del conocimiento, lógica, geometría proyectiva, Nelson Goodman, Hilary Putnam, Willard Van Orman Quine, Ludwig Wittgenstein.
Dual arguments: The principle of duality as an argumentative structure
Abstract
In philosophy, we often find families of arguments, that is, classes of arguments that can be related due to their structure, the discussions they engage with, or the theses they propose to defend. This work attempts to identify a new family of arguments that had not been explicitly pointed out previously. More specifically, it aims to show that there are certain arguments that share a structure that is very close to the principle of duality in projective geometry, and which, for this reason, can be called dual arguments. With this objective in mind, this paper discusses four arguments of great importance in analytical philosophy, aiming to demonstrate that, although they have been immersed in different discussions and sought to respond to different problems, they share the same structure. These arguments are: (i) Goodman’s riddle of induction; (ii) Putnam’s indeterminacy of reference; (iii) Quine’s indeterminacy of translation, and (iv) Wittgenstein’s rule-following paradox.
Keywords: Philosophy, theory of knowledge, logic, projective geometry, Nelson Goodman, Hilary Putnam, Willard Van Orman Quine, Ludwig Wittgenstein.
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Citación sugerida Gutiérrez Valderrama, J. (2018). Argumentos duales: el principio de dualidad como una estructura argumentativa. Bogotá: Editorial Universidad del Rosario. DOI: https://doi.org/10.12804/op9789587840230 |
ARGUMENTOS DUALES:
EL PRINCIPIO DE DUALIDAD COMO UNA ESTRUCTURA ARGUMENTATIVA
JULIANA GUTIÉRREZ VALDERRAMA
Gutiérrez Valderrama, Juliana
Argumentos duales: el principio de dualidad como una estructura argumentativa / Juliana Gutiérrez Valderrama. -- Bogotá: Editorial Universidad del Rosario, 2018.
xvi, 138 páginas.
Incluye referencias bibliográficas.
Goodman, Nelson, 1906- 1998 -- Crítica e interpretación / Putnam, Hilary, 1926- 2016
– Crítica e interpretación / Quine, Willard Van Orman, 1908-2000 – Crítica e interpretación
/ Johann Wittgenstein, Ludwig Josef, 1889- 1951 – Crítica e interpretación / Filosofía / Teoría del conocimiento / Lógica / Geometría proyectiva / I. Gutiérrez Valderrama, Juliana
/ II. Título. / IV. Serie.
168. SCDD 20
Catalogación en la fuente -- Universidad del Rosario. CRAI
LAC noviembre 8 de 2017
Hecho el depósito legal que marca el Decreto 460 de 1995
Opera Prima
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Carrera 7 No. 12B-41, of. 501
Tel: 2970200 Ext. 3112
editorial.urosario.edu.co
Primera edición: Bogotá, D. C., enero de 2018
ISBN: 978-958-784-022-3 (impreso)
ISBN: 978-958-784-023-0 (ePub)
ISBN: 978-958-784-024-7 (pdf)
DOI: doi.org/10.12804/op9789587840230
Coordinación editorial: Editorial Universidad del Rosario
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Juliana Gutiérrez Valderrama
Filósofa. Actualmente cursa Maestría en Filosofía de la Universidad del Rosario. Por su excelencia académica obtuvo media beca durante su pregrado y, por sus resultados en las pruebas Saber Pro, recibió beca del 80% para cursar la maestría. Adicionalmente, por su promedio académico, ganó tres veces el incentivo al mérito académico y recibió mención meritoria por su trabajo de grado. Actualmente trabaja como auxiliar de investigación en el proyecto “La pirámide visual: evolución de un instrumento conceptual” dirigido por el profesor Carlos Alberto Cardona. Sus intereses son la filosofía y la historia de la ciencia.
Principalmente, quisiera agradecer a Carlos Alberto Cardona, esta tesis no hubiera sido posible si no fuera por él. Fue él quien me sugirió y me animó a realizar este proyecto. Al hacerlo, tuve la oportunidad de arriesgarme y de poner en práctica todo lo que he aprendido en estos años. Su acompañamiento y sus comentarios en el transcurso de esta investigación fueron fundamentales. Agradezco, además, los consejos y oportunidades que me ha dado durante mi carrera. Ha sido un gran profesor, del cual he aprendido muchísimo de filosofía y de la paciencia que uno debe tener a la hora de leer, investigar y plantear ideas. Pero, más importante aún, de él he aprendido la importancia de siempre mantener en el horizonte las razones por las cuales uno se sumerge en este tipo de indagaciones. A veces los afanes y las exigencias a los cuales uno se somete nos hacen perder de vista muchas de nuestras motivaciones iniciales.
Doy gracias también al resto de mis profesores, en especial a Carlos Patarroyo y a Wilson Herrera. Todas las clases en las que participé y todos los grupos de lectura o semilleros a los cuales asistí me llenaron siempre de amor por lo que estudio. El cuidado y la dedicación con los cuales leyeron mis trabajos y todos sus comentarios (así algunos de ellos fueran duros) me animaron constantemente a mejorar en mi manera de escribir, exponer y defender mis propias ideas.
Agradezco, además, a mis compañeros de filosofía con quienes he tenido la oportunidad de discutir y de organizar mis pensamientos, no solo en este proyecto sino en muchos otros. Entre ellos, me gustaría resaltar a Ernesto Navarro, Alejandro González, Juan Raúl Loaiza y, en especial, a Simón Díez, quien desde el principio me acompañó en la decisión de estudiar esta carrera. Finalmente, agradezco a mi familia por todo el apoyo y ánimo que me han dado en estos cinco años, por leer mis textos, comentarlos y escuchar mis opiniones.
En filosofía muchas veces nos encontramos con familias de argumentos. Estos pueden ser parientes en virtud ya sea de su estructura, las discusiones en las que están inmersos o las tesis que pretenden defender. En medio de estas familias, podemos identificar a los argumentos trascendentales, escépticos, ontológicos, entre muchos otros. Por ejemplo, los trascendentales funcionan de la siguiente manera: si se quiere defender una premisa X, se parte de una premisa ya aceptada Y y se muestra que, dado que Y es el caso, entonces debemos aceptar X, pues esta última resulta ser una condición necesaria (o condición de posibilidad) de Y. Por su lado, los argumentos escépticos tienen la finalidad de hacernos dudar de nuestro conocimiento sobre aspectos que ya dábamos por sentado. Generalmente, dichos argumentos comparten la siguiente estructura: “aunque presumo que ahora estoy despierto, dado que las experiencias que tengo en el momento no se diferencian de las experiencias que he tenido cuando estoy durmiendo (o las que podría tener si asumo que soy un cerebro en una cubeta), no puedo asegurar entonces que ahora estoy despierto”. Por otro lado, los argumentos ontológicos tienen el objetivo de demostrar la existencia de alguna deidad y su estructura podría caracterizarse, muy superficialmente, de la siguiente manera: se parte de una premisa que define a Dios como un ser con un determinado conjunto de propiedades (e. g. la perfección suprema) y luego se concluye que, dada la naturaleza de estas propiedades, ese ser necesariamente debe existir (e. g. si Dios es el ser más perfecto y un ser que existe es más perfecto que uno que no existe, entonces Dios debe existir).
Como se puede ver, estas clases de argumentos se constituyen porque comparten la estructura o las conclusiones que se quieren defender. Lo valioso e interesante al reconocer estos parecidos es poder tener a la mano claves para organizar las ideas de los autores, ver más claramente qué es lo que querían lograr y, además, de qué manera pretendían hacerlo. En otras palabras, reconocer estas familias puede proveernos de claves exegéticas o interpretativas a la hora de abordar muchas discusiones. Adicionalmente, tal reconocimiento puede sacar a la luz los vínculos entre autores que, de lo contrario, hubieran pasado desapercibidos. Más aún, es posible ver más de cerca ciertas formas de pensar, organizar y defender ideas.
El objetivo de este proyecto es precisamente identificar una familia de argumentos distinta de las que acabo de mencionar, que se puede distinguir en virtud de los parecidos en su estructura. Más específicamente, en este trabajo quiero sacar a la luz que hay ciertos argumentos que comparten una estructura que tiene grandes cercanías con el principio de dualidad de la geometría proyectiva y que, por eso mismo, podríamos denominar argumentos duales. Con este objetivo en mente, lo que haré es estudiar cuatro argumentos que han sido de gran importancia en la filosofía analítica durante el siglo XX, a saber: (1) el nuevo acertijo de la inducción expuesto por Nelson Goodman; (2) el argumento de la indeterminación de la referencia de Hilary Putnam; (3) el argumento de la indeterminación de la traducción planteado por W. O. Quine; y, finalmente, (4) la paradoja sobre el seguimiento de reglas formulada por Ludwig Wittgenstein. El punto será hacer evidente que cada uno de estos argumentos tiene una estructura que podemos ejemplificar a través del principio de dualidad; en otras palabras, lo que pretendo es mostrar que todos ellos comparten una estructura dual. Lo más sorprendente de estos parecidos de familia entre los cuatro argumentos mencionados es que todos ellos se encontraban en contextos distintos y pretendían responder a diferentes problemas. En ese orden de ideas, es de gran riqueza poder ver las cercanías entre los autores además de aquellas que ellos mismos de pronto ya habían concedido, las cuales no solo se reducen a afinidades en temas o en tesis, sino que abarcan, además, la forma o la estrategia de su argumentación.
Como se mostrará más adelante de manera más detallada, el principio de dualidad consiste en que es posible intercambiar los términos “punto” y “línea”1 en los enunciados y teoremas de la geometría proyectiva y aun así seguir manteniendo los mismos valores de verdad. De lo anterior se infiere que podríamos tener interpretaciones no estándar de los términos, es decir, podemos interpretar “punto*” como líneas y “línea*”2 como puntos y, a pesar de ello, dejar algo invariante, a saber, los valores de verdad o (la teoremidad) de los enunciados. Este es precisamente el esquema del cual me serviré para estudiar los cuatro argumentos seleccionados: en cada uno de ellos se describen situaciones en las que podemos identificar circunstancias o interpretaciones estándar y no estándar, y se muestra que en ambos casos hay algo que queda invariante.
Teniendo en cuenta esta presentación, el trabajo consta de cinco partes. En el primer capítulo, haré una presentación más profunda del principio de dualidad. Allí, primero, daré un contexto sobre qué es, muy a grandes rasgos, la geometría proyectiva e intentaré dar una prueba del principio de dualidad, con el fin de mostrar cuál es la naturaleza del principio y cuál es el papel que este juega en dicha geometría. En los cuatro capítulos siguientes se exponen los argumentos mencionados y las discusiones en las cuales estos fueron planteados. En ese orden de ideas, el segundo capítulo está dedicado a Nelson Goodman y a su nuevo acertijo de la inducción. El tercer capítulo se ocupa de Hilary Putnam y su argumento para la indeterminación de la referencia. El cuarto capítulo se detiene en Willard Van Orman Quine y su argumento para la indeterminación de la traducción. Finalmente, el quinto capítulo se concentra en Ludwig Wittgenstein y su paradoja sobre el seguimiento de reglas.
En cada una de estas cuatro secciones tendré dos objetivos. Primero, daré un contexto sobre las discusiones en las cuales los argumentos estaban inmersos y mostraré cuáles eran las pretensiones que los autores tenían. Segundo, abstraeré e identificaré las estructuras duales de cada uno de ellos. Con esta exposición, quiero hacer evidente que, incluso a pesar de las distancias y diferencias, podemos encontrar fuertes e importantes parecidos que permiten agruparlos a todos en una familia de argumentos, a saber, una familia de argumentos duales. Después de los capítulos descritos, presentaré algunas anotaciones finales. En este cierre haré un recuento de cuáles fueron los parecidos que se identificaron entre los casos estudiados y, adicionalmente, menciono de manera breve cuáles han sido las otras cercanías que ya los mismos autores (u otros comentaristas) habían concedido.
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1 Para evitar algún tipo de confusión, en el transcurso de este trabajo usaré los términos de “línea” y “recta” indistintamente.
2 Los asteriscos hacen referencia a que ahora los términos van a tener una interpretación distinta a la estándar; es decir, “punto*” va a referir a líneas y “línea*” va a referir a puntos.
Para presentarle al lector en qué consiste el principio de dualidad, mostraré en qué consiste la geometría proyectiva. No obstante, antes de empezar, me gustaría hacer algunas anotaciones sobre la geometría en general. Según G. H. Hardy (1925), en geometría es posible identificar dos tipos de sistemas geométricos: geometrías analíticas y geometrías puras. Las primeras funcionan con definiciones y teoremas: en ellas se parte de ciertos objetos, cuyas propiedades son bien definidas, y luego se empiezan a construir las cosas que se pueden hacer a partir de ahí. En ese orden de ideas, en las geometrías analíticas no hay axiomas (Hardy, 1925, p. 313), hay objetos que, dadas sus propiedades, determinan las construcciones que yo luego puedo elaborar: “La cuestión de los geómetras analíticos, en pocas palabras, es investigar las propiedades de un sistema particular de cosas” (Hardy, 1925, p. 314). Las geometrías puras, en cambio, trabajan con axiomas; así pues, se parte de unos objetos no definidos y los axiomas son enunciados primitivos que establecen unas relaciones lógicas entre dichos objetos. Ahora bien, ¿a qué refieren estos objetos no definidos? En las geometrías puras no importa cuál es la referencia, lo importante es la relación lógica que hay entre ellos. Es esa relación, y no la referencia, lo que determina la verdad de los teoremas de la geometría:
Los puntos y líneas [del geómetra puro] no son ni objetos espaciales, ni un conjunto de números, ni son tal o tal sistema de entidades, más bien son cualquier sistema de entidades que están sujetas a cierto conjunto de relaciones lógicas. El sistema particular de relaciones que él estudia es aquel expresado por los axiomas de su geometría. (Hardy, 1925, p. 314)
Imaginemos el siguiente ejemplo sugerido por Hardy para aclarar la diferencia: un geómetra puro y un geómetra analítico van al zoológico. El analítico se interesa en los tigres, en su color, en sus rayas y en el hecho de que comen carne; por esto mismo, él propone lo siguiente: un punto es por definición un tigre, y los teoremas del sistema geométrico afirman que los puntos son amarillos, tienen rayas y comen carne. El geómetra puro, en cambio, no tiene interés en si los puntos son tigres o no, sino que, más bien, se interesa en que los puntos tengan las propiedades de ser amarillos y tener rayas. En ese orden de ideas, para él cualquier cosa que cumpla con esas propiedades puede ser un punto: que los puntos son amarillos y que tienen rayas son los axiomas de su sistema geométrico. Luego, él puede ir e investigar si el hecho de que los puntos coman carne es algo que se puede deducir lógicamente de los axiomas que él ha planteado (Hardy, 1925, p. 314): “un geómetra puro […] considera todos los posibles campos de ciertas relaciones lógicas, y explora sus conexiones sin hacer referencia a la naturaleza de los objetos entre los cuales se establecen” (Hardy, 1925, p. 315).
Ahora bien, la geometría proyectiva es una geometría pura: partimos de unos objetos indefinidos, unos axiomas que establecen las relaciones que estos objetos pueden tener y, a partir de allí, se analiza qué cosas podemos deducir. Algo que satisfaga estas relaciones lo podemos llamar un modelo de esa geometría; cuál es la naturaleza de ese algo nos puede tener sin cuidado. Dicho aspecto puro, como veremos más adelante, jugará un papel fundamental.
La geometría proyectiva tiene sus inicios con los pintores del Renacimiento. La preocupación de estos artistas en ese momento era la siguiente: ¿cómo puedo hacer la representación más fiel de la realidad? Dado que nos encontramos en un mundo de tres dimensiones, la pregunta que tenían que resolver era ¿cómo representar en un plano bidimensional algo que es tridimensional? Más específicamente, ¿cómo puedo capturar relaciones de posición entre objetos ubicados en un espacio tridimensional si para ello solo cuento con planos bidimensionales? Ante esta dificultad, ellos trataron de proponer tanto instrumentos técnicos como matemáticos para poder lograr las representaciones más fieles; en palabras de Morris Kline, los artistas “lucharon durante más de 100 años para encontrar un esquema matemático que les facilitara pintar el verdadero mundo tridimensional en una tela bidimensional” (1994, p. 216). Fueron los intentos de sofisticar el aparato matemático y geométrico los que dieron nacimiento a la geometría proyectiva.
Todos sabemos que la forma como se ve una escena depende de la posición en la que se encuentra el observador. Así pues, para hacer sus obras, los artistas asumieron que el observador se establecía en una posición fija y que, además, observaba dicha escena con un solo ojo. Sumado a esto, asumieron que un rayo de luz desde cada punto de la escena iba dirigido al ojo; a todos estos rayos de luz los llamaron proyección. Adicionalmente, imaginaron que en el medio de esta proyección se establecía un velo transparente y que el conjunto de puntos por los que cada línea pasaba a través de dicho velo era una sección de esa proyección. Para poder hacer una buena representación de la escena, lo que entonces debían hacer los pintores era reproducir la sección que se formaba en el velo transparente (Kline, 1994, p. 219).1 Por esta razón, la cuestión principal era: ¿qué aspectos de la escena permanecen invariantes al hacer una proyección desde distintas posiciones del ojo del observador? O, en otras palabras, ¿qué propiedades geométricas permanecen igual al hacer una proyección de tal forma que podamos seguir reconociendo a una sección de esa proyección como una representación de la escena original? (Coxeter, 1987, p. 3; Hilbert, 1990, p. 94). Ahora bien, dado que la tela en la que iba a pintar el artista no era transparente y, además, que muchas veces la escena que pretendía retratar no la estaba observando sino que estaba en su imaginación, los artistas debían hacer predicciones a priori a partir de ciertos teoremas para saber cómo debía quedar la escena en el velo. Más tarde, los matemáticos comenzaron a interesarse por estos intentos de los artistas y así desarrollaron una geometría de gran generalidad y autoridad, a saber, la geometría proyectiva.
Ya hecho este recuento histórico, es importante aclarar algunas particularidades de esta geometría y sus contrastes con la geometría euclidiana. Mientras que la segunda se vale de la noción de métrica (pues se miden distancias y ángulos), de la noción de paralelismo y, además, del compás como herramienta técnica,2 en la geometría proyectiva no se trabaja con medidas, y se abandona el paralelismo y el compás. ¿Por qué existen estas diferencias? En el párrafo anterior especificamos que el interés de los artistas era poder identificar qué propiedades geométricas se mantenían intactas al hacer una proyección. Ahora bien, entre esas propiedades no están ni el paralelismo, ni la magnitud de las distancias ni la amplitud de los ángulos: “si una figura plana es proyectada a otro plano, distancias y ángulos son cambiados y, adicionalmente, líneas paralelas pueden ser cambiadas a líneas no paralelas” (Hilbert, 1990, p. 94). En ese orden de ideas, la geometría proyectiva es un sistema mucho más simple que el de Euclides pero, como dice Coxeter, “no tan simple como para no ser interesante” (1987, p. 2). Nos encontramos entonces con una geometría que en principio parece muy distinta, pues no medimos ni ángulos ni distancias, no utilizamos el compás y, además, abandonamos la posibilidad de tener líneas paralelas. Lo más interesante es que, aun prescindiendo de estas ideas, tenemos un sistema de axiomas que sigue siendo igual de consistente.
Una de las cosas más interesantes de esta geometría es el principio de dualidad.3 Resulta que uno podría modificar cualquier enunciado intercambiando las palabras de recta y punto (obviamente con algunas modificaciones sintácticas) y obtener enunciados significativos y, más aún, teoremas consistentes (o verdaderos) dentro del sistema. Esto implica que el principio, en caso de tener fundamento, consiste en que cada vez que demostramos un teorema, realmente hemos demostrado dos, i. e. el original y su dual; cada demostración, entonces, vale por dos. El aspecto importante que saca a la luz este principio es que para que un enunciado sea significativo o para que un teorema sea verdadero no es necesario determinar la interpretación o referencia de los términos que se están utilizando. Más bien, lo importante son las relaciones que se establecen entre los términos que están en juego. Acá podemos entrever el carácter puro de esta geometría.
Como ya se mencionó en la introducción, el objetivo de este proyecto es utilizar el principio de dualidad para dar cuenta de la estructura de los cuatro argumentos que quiero analizar. Por esta misma razón, es fundamental presentar de la manera más clara posible en qué consiste dicho principio, cómo funciona realmente en la geometría proyectiva y, además, cómo se puede probar. Para esta presentación debo hacer varias aclaraciones. Primero, expondré cuáles son los conceptos primitivos de la geometría proyectiva y presentaré los axiomas o enunciados primitivos desde los cuales se puede empezar a deducir el resto de teoremas. En este punto, la idea es que el lector se familiarice con la notación y que entienda el sentido de los axiomas. Finalmente, presentaré una prueba del principio de dualidad. Así, pretendo mostrar la riqueza del principio y, además, la simetría que envuelve a la geometría proyectiva.4