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Gutiérrez García, Ismael.

Matemáticas básicas con trigonometría / Ismael Gutiérrez García, Jorge Robinson Evilla. — 2^a ed. Barranquilla : Editorial Universidad del Norte, 2011.

xi, 212 p. : 28 cm.

Incluye referencias bibliográﬁcas (p. 209) e índice

ISBN 978-958-741-181-2 (pasta blanda)

ISBN 978-958-741-931-3 (epub)

1. Matemáticas. 2. Trigonometría. I. Evilla, Jorge Robinson. II. Tít.

512.13 G984m --22 ed. (CO-BrUNB : 82185)

Licenciado en Matemáticas y Física de la Universidad del Atlántico. Magíster en Matemáticas, convenio Universidad del Valle-Universidad del Norte. Doctor en Matemáticas (Dr. rer. nat) de la Universidad de Johannes Gutenberg de Mainz (Alemania) y miembro de la Sociedad Colombiana de Matemáticas. Desde 1993 es profesor de tiempo completo de la Universidad del Norte y actualmente es director del grupo de investigaciones en Álgebra de esta institución.

Licenciado en Ciencias de la Educación, énfasis en Matemáticas y Física, de la Universidad del Atlántico. Especialista en Matemáticas de la Universidad del Norte. Desde 1995 es profesor catedrático de la Universidad del Norte.

En este texto, diseñado inicialmente para estudiantes de los primeros semestres de ingenierías, se destacan claramente tres ejes temáticos: los números reales como un cuerpo ordenado, las funciones reales de variable real y los primeros elementos de la trigonometría plana.

La presentación de los números reales se hace axiomáticamente. En primer lugar presentamos los axiomas de cuerpo, y con base en ellos se demuestran propiedades de tipo algebraico, como la unicidad de los módulos y la unicidad de los inversos, entre otros.

Además de los resultados matemáticos, en esta parte presentamos la demostración como herramienta principal del quehacer matemático, con el propósito que los estudiantes puedan tener una aproximación directa al método de construcción matemática. Esto permite que observen la coherencia y la importancia de obtener resultados sólo a partir de axiomas y definiciones, y por otro lado que observen en la demostración un ejercicio de pensamiento estrictamente necesario para un juicio matemático.

El axioma del extremo superior, además de introducir una primera noción topológica de los números reales, nos permitirá caracterizar los números naturales, los enteros, teniendo como fundamento el principio de buen orden. Haremos énfasis especial en el uso de uno de los métodos de demostración más importantes de la matemática como es el principio de inducción matemática. Con éste demostraremos las propiedades de los exponentes enteros y racionales.

El segundo tema de este libro lo constituyen las funciones reales de variable real. Sin duda, uno de los grandes temas de la matemática. Hacemos una presentación formal de éste, es decir, presentamos las funciones como conjuntos de parejas ordenadas que satisfacen propiedades específicas. Posteriormente presentamos una notación alternativa de la misma, con el propósito de sentar las bases para tratamientos posteriores de las funciones reales de variable real en cursos de cálculo diferencial, cálculo vectorial o álgebra lineal.

En la parte correspondiente a la trigonometría se hace especial énfasis en el manejo de las funciones trigonométricas, y además de presentar la forma de determinar sus valores y sus gráficas, se exponen y demuestran sus propiedades.

Las identidades trigonométricas se estudian como un caso particular de las ecuaciones trigonométricas y se discuten las aplicaciones comunes, tales como el teorema del seno y del coseno.

Otro de los objetivos de este texto es que los estudiantes tengan la posibilidad de profundizar en algunos conceptos que no son habitualmente incluidos en los cursos regulares de álgebra y trigonometría pero que muchas veces resultan necesarios e interesantes. Además colocar las bases para un recorrido formal y claro por las principales líneas del pensamiento matemático. Tratamos entonces de evitar presentar resultados matemáticos sueltos e incrustados de manera incoherente o superficial.

Esperamos los comentarios, correcciones y sugerencias de parte de toda la comunidad educativa, que sin lugar a dudas serán de gran valor y pertinencia en este arduo trabajo que es el aprendizaje en matemáticas.

En este punto deseamos agradecer a los colegas y amigos Sebastián Castañeda, MSc., por su impulso para materializar la idea, a Carlos Vega, MSc., por la lectura cuidadosa del manuscrito y por sus valiosas sugerencias, a Ricardo Prato, MSc., por su ayuda en la edición del texto, y con igual aprecio a Guillermo Cervantes, MSc., por su apoyo desde la dirección del departamento de Matemáticas.

En la presente edición se encontrarán algunas extensiones del material inicial, concretamente en lo referente a ejercicios propuestos y temas importantes de la trigonometría como lo son las funciones trigonométricas inversas. Otro elemento importante que hemos incorporado es una sección con las respuestas a un gran número de ejercicios.

Nuevamente agradecemos a todos los colegas del departamento de Matemáticas de la Universidad del Norte por el apoyo, especialmente al Dr. Jairo Hernández por sus comentarios y sugerencias acertadas.

1.1. Introducción

1.2. Los axiomas de cuerpo

1.3. Los axiomas de orden

1.4. El principio de buen orden

1.5. Números enteros y racionales

1.6. El axioma del extremo superior

1.7. El valor absoluto: propiedades

En este primer capítulo presentamos los fundamentos del curso. Para lograrlo estudiaremos en primer lugar la estructura de cuerpo ordenado de los números reales, además presentaremos las consecuencias más importantes de los axiomas asumidos.

Existen múltiples formas para introducir el conjunto de los número reales. Una muy usual es postular la existencia del conjunto de los números naturales ℕ = {l, 2, 3, ...} y construir ampliaciones sucesivas de éste, pasando por los enteros, los racionales y los irracionales hasta llegar a los número reales. Esta opción por lo general carece de rigurosidad.

Nuestra propuesta metodológica con respecto al conjunto de los números reales no es constructiva, por el contrario, adoptaremos una descripción axiomática de éste. El método que utilizaremos es de tipo deductivo, es decir, se asume la noción de número real como concepto primitivo. Una vez aceptada la existencia de un conjunto cuyos elementos son los números reales, dotado con dos operaciones binarias, suma y multiplicación, el siguiente paso es aceptar un conjunto de axiomas o postulados, que describen entre otras las propiedades de las operaciones y con base en éstos deduciremos o demostraremos propiedades de los números reales.

Cuando usamos el término primitivo, queremos indicar que la naturaleza de los elementos del conjunto de los números reales (notado con ℝ) no jugará un papel central en el desarrollo de la teoría; lo importante será las propiedades que podamos deducir a partir de los postulados. Los axiomas que vamos a considerar estarán clasificados en tres grupos: los axiomas de cuerpo, los cuales hacen referencia a la componente algebraica del conjunto ℝ. Los axiomas de orden nos permitirán comparar dos números reales y de alguna manera estos inducen una geometría en ℝ. El tercero es el axioma del extremo superior, el cual garantiza la existencia de un número real especial asociado a subconjuntos no vacíos de ℝ, que son acotados superiormente. Con éste tenemos los primeros aspectos topológicos de ℝ.

Desde la Antigüedad se encuentran múltiples ejemplos de argumentaciones de tipo deductivo. Por ejemplo, Euclides de Alejandría¹ publicó múltiples obras, entre las que destacan los famosos Elementos, sin duda una de las grandes joyas de las matemáticas a lo largo de toda la historia. Estos están divididos en trece libros, los seis primeros están dedicados a la geometría elemental; en ellos Euclides recoge las técnicas geométricas utilizadas por los pitagóricos para resolver lo que hoy se consideran ejemplos de ecuaciones lineales y cuadráticas, e incluyen también la teoría general de la proporción, atribuida tradicionalmente a Eudoxo².

Los libros séptimo al noveno tratan sobre teoría de números, el décimo comienza con cuatro definiciones en las que se explica lo que son los segmentos conmensurables e inconmensurables, es decir, racionales e irracionales, y los tres restantes se ocupan de la geometría de los sólidos, hasta culminar en la construcción de los cinco poliedros regulares y sus esferas circunscritas, que había sido ya objeto de estudio.

Euclides estableció lo que, a partir de su contribución, había de ser la forma clásica de una proposición matemática: un enunciado deducido lógicamente a partir de unos principios previamente aceptados. En los Elementos, los principios que se toman como punto de partida son veintitrés definiciones, cinco postulados y cinco axiomas o nociones comunes. La naturaleza y el alcance de dichos principios han sido objeto de frecuente discusión a lo largo de la historia, en especial por lo que se refiere a los postulados y, en particular, al quinto postulado, el de las paralelas. Su condición distinta respecto de los restantes postulados fue ya percibida desde la misma Antigüedad, y hubo diversas tentativas de demostrarlo como teorema; los esfuerzos por hallarle una demostración prosiguieron hasta el siglo XIX, cuando se puso de manifiesto que era posible definir geometrías consistentes, llamadas “no euclidianas”, en las que no se cumpliera la existencia de una única paralela trazada a una recta por un punto exterior a ella.

Isaac Newton³ con su obra más importante, Philosophiae naturalis principia mathematica, presenta en 1687 otro ejemplo de una teoría fundamentada en sistemas deductivos. En ella formuló rigurosamente las tres leyes fundamentales del movimiento: la primera ley de Newton o ley de la inercia, según la cual todo cuerpo permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme si sobre él no actúa ninguna fuerza; la segunda establece que la aceleración que experimenta un cuerpo es igual a la fuerza ejercida sobre él dividida por su masa; y la tercera, indica que por cada acción ejercida sobre un cuerpo existe una reacción igual de sentido contrario. La mayoría de estas ideas formaban parte del ambiente científico de la época; pero fue Newton quien les dio el carácter sistemático de una teoría general, capaz de sustentar la concepción científica del Universo durante varios siglos. Suele considerarse a Newton uno de los protagonistas principales de la llamada “Revolución científica" del siglo XVII y en cualquier caso, el padre de la mecánica moderna.

Otro ejemplo lo encontramos en el matemático alemán David Hilbert⁴, quien fue un enconado defensor de la axiomática como enfoque principal de los problemas científicos. Teniendo como fundamento a Euclides, publicó en 1899 su obra Grundlagen der Geometrie, en la que, mediante un exhaustivo análisis y perfeccionamiento de las ideas euclidianas, formuló sus principios de axiomatización. En esta obra Hilbert realizó el primer esfuerzo sistemático y global para hacer extensivo a la geometría el carácter puramente formal que ya habían adquirido la aritmética y el análisis matemático.

A partir de 1904 empezó a desarrollar un programa para dotar de una base axiomática a la lógica, la aritmética y la teoría de conjuntos, con el objetivo último de axiomatizar toda la matemática. Aunque su propósito de demostrar la consistencia de la aritmética había de verse frustrado por los resultados posteriores (1931) obtenidos por el matemático austriaco Kurt Göde1⁵, el programa de formalización de Hilbert contribuyó al desarrollo de la llamada metamatemática, como método para establecer la consistencia de cualquier sistema formal.

Kurt Gödel, a los 24 años de edad, como estudiante de la universidad de Viena presenta su tesis doctoral sobre un conjunto de axiomas de lógica elemental, con los cuales se demuestra que es posible derivar todas y solamente las verdades de la lógica. La demostración del teorema de completitud para el cálculo de predicados trajo la falsa esperanza a los matemáticos que trabajaban en esa área de que el programa de axiomatización de Hilbert sería viable. No obstante, un año después, en 1931, el mismo Gödel publicó en la revista alemana Monatshefte für Mathematik und Physik el extremadamente difícil y brillante articulo titulado “Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme” (Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas afines) con el cual echaría por tierra el sueño hilbertiano.

Dado que el primer interés es abordar el estudio de la parte algebraica de los números reales, asumimos que sobre ℝ están definidas dos operaciones binarias, denominadas suma y multiplicación, las cuales representaremos con “+” y “·” respectivamente. Esto es, cada par de números reales x, y tiene asociado un único número real x + y (su suma) y de igual manera otro único número real x · y (su producto). Escribiremos simplemente xy en lugar de x · y.

Antes de considerar los axiomas de cuerpo introducimos las propiedades que satisface el símbolo de igualdad en ℝ:

I3 Transitividad. Para todo x, y, z ∈ ℝ, si x = y y y = z, entonces x = z.

I4 Monotonía. Para todo x, y, z ∈ ℝ, si x = y, entonces x + z = y + z y xz = yz.

C3 Existencia de módulos. Existe un números real 0 (cero) y un número real 1 (uno) tal que para todo x ∈ ℝ se verifica x + 0 = x y xl = x.

C4 Existencia de inversos. Para todo x ∈ ℝ existe y ∈ ℝ tal que x+y = 0. Se denotará este y con −x. Además para todo 0 ≠ x ∈ ℝ existe z ∈ ℝ tal que xz = 1. La notación usual para este z es x⁻¹ o

En este punto podemos decir que el conjunto ℝ con las operaciones suma y multiplicación adquiere la estructura algebraica de cuerpo (también usualmente denominada campo).

Nota. Como consecuencia de C1 podemos escribir x + y + z para denotar (x + y) + z o x + (y + z). De manera similar, la expresión xyz denota sin lugar a confusión (xy)z o x(yz).

Iniciamos ahora las deducciones de algunas resultados que son consecuencia inmediata de los axiomas de cuerpo y de la igualdad.

En el siguiente teorema se demuestra que los módulos para la suma y la multiplicación en ℝ son únicos.

1.2.2 Teorema. (Unicidad de los módulos) Existen a lo más un módulo para la suma y un módulo para la multiplicación en ℝ.

DEMOSTRACIÓN: La existencia de los respectivos módulos está garantizada por el axioma C3. Demostramos ahora que estos son únicos.

Supongamos que existen dos números reales, 0 y 0^′, que satisfacen C3. Entonces para todo x ∈ ℝ se tiene que x + 0 = x y x + 0^′ = x. Por lo tanto, x + 0 = x + 0^′. Aplicando el teorema 1.2.1(1) se sigue que 0 = 0^′.

De manera similar se demuestra que existe un único 1 ∈ ℝ que satisface el axioma C3. □

1.2.3 Teorema. (Unicidad de los inversos) Todo número real x admite un único inverso aditivo −x y todo número real no nulo x admite un único inverso multiplicativo x⁻¹.

DEMOSTRACIÓN: Sea x ∈ ℝ y supongamos que x tiene otro inverso aditivo y. Esto es, existe y ∈ ℝ tal que x + y = 0. Entonces x + y = 0 = x + (−x). Nuevamente del teorema 1.2.1(1) se sigue que y = −x y se tiene la unicidad.

Denotemos con ℝ^× el conjunto ℝ \ {0}. Sea ahora x ∈ ℝ^× y supongamos que para x existe otro número real y tal que xy = 1. Entonces xy = 1 = xx⁻¹. Si usamos ahora 1.2.1(2) se tiene que y = x⁻¹. □

1. Existe un único número real x tal que a + x = b. Este número x es usualmente denotado con b − a.

2. Si a ≠ 0, entonces existe un único número real y tal que ay = b. Este número y lo notaremos con

1. Existencia. Dado a ∈ ℝ, siempre existe su inverso aditivo −a ∈ ℝ. Defínase x := b + (−a). Entonces

Unicidad. Supongamos que existe x′ ∈ ℝ tal que a + x′ = b. Entonces a + x = a + x′ y el resto se sigue del teorema 1.2.1(1).

2. Existencia. Si a ∈ ℝ^×, entonces existe a⁻¹ ∈ ℝ. Definamos y := a⁻¹b. Entonces

Unicidad. Supongamos que existen x, x′ ∈ ℝ tal que ax = b = ax′. Entonces ax = ax′. La conclusión se sigue de 1.2.1(2). □

En el siguiente teorema se demuestran propiedades importantes del cero. El segundo resultado será de gran importancia para la resolución de ecuaciones cuadráticas.

1. Sea x ∈ ℝ. Entonces 0 + x0 = x0 = x(0 + 0) = x0 + x0. Utilizando una vez más el teorema 1.2.1(1) se tiene la afirmación.

Recíprocamente, supongamos que xy = 0 y x ≠ 0. Demostramos que y = 0. En efecto

Como consecuencia de los axiomas de cuerpo y de los teoremas anteriores, presentamos ahora algunas propiedades importantes de los inversos aditivos y multiplicativos de números reales.