Procesos estocásticos
con aplicaciones

Procesos estocásticos
con aplicaciones

Rodrigo Barbosa Correa
Humberto Llinás Solano

www.uninorte.edu.co
Km 5 vía a Puerto Colombia, A.A. 1569,
Barranquilla (Colombia)

© 2016, Universidad del Norte
Rodrigo Barbosa Correa y Humberto Llinás Solano

Primera edición, julio de 2013
Primera reimpresión, febrero de 2014
Segunda reimpresión, noviembre de 2014
Tercera reimpresión, noviembre de 2015
Cuarta reimpresión, julio de 2016

Edición
Humberto Llinás Solano

Coordinación editorial
Zoila Sotomayor O.

Corrección de textos
Henry Stein

Diseño de portada
Andrés Racedo Llanos

Procesos técnicos
Munir Kharfan de los Reyes

Desarrollo ePub
Lápiz Blanco S.A.S.

Hecho en Colombia

Made in Colombia

Los autores

RODRIGO BARBOSA CORREA

Ingeniero Químico, especializado en Gerencia de la Calidad y en Normalización de procesos. Magister en Informática y Análisis de datos y doctor en Ingeniería. Profesor investigador del Departamento de Ingeniería Industrial de la Universidad del Norte (Colombia). Miembro del grupo de investigación de Competitividad y Productividad de dicha institución.

HUMBERTO LLINÁS SOLANO

Licenciado en Ciencias de la Educación, con énfasis en Matemáticas, Física y Estadística de la Universidad del Atlántico (Colombia). Magister en Matemáticas, convenio Universidad del Valle-Universidad del Norte (Colombia). Doctor en Estadística (Dr. rer. nat.) de la Universidad Johannes Gutenberg de Mainz (Alemania). Desde 1998 se desempeña como profesor de tiempo completo de la Universidad del Norte y forma parte de los grupos de investigación Matemáticas y Enfermedades tropicales de dicha institución. Autor de los textos Estadística descriptiva y distribuciones de probabilidad (2005), Estadística inferencial (2006), Medida e Integración (2007) e Introducción a la Estadística con aplicaciones en Ciencias Sociales (2012).

Contenido general

Prefacio

1 Introducción a los procesos estocásticos

1.1 Preliminares

1.1.1 σ-álgebras

1.1.2 σ-álgebra generada

1.1.3 σ-álgebra de Borel

1.1.4 Espacios de probabilidad

1.1.5 Probabilidades condicionales

1.1.6 Variables aleatorias

1.1.7 Algunas distribuciones especiales de probabilidad

1.2 Procesos estocásticos

1.3 Algunos tipos de procesos estocásticos

1.3.1 Proceso con incrementos independientes

1.3.2 Proceso con incrementos estacionarios

1.3.3 Procesos estacionarios

Ejercicios

2 Cadenas de Markov

2.1 Cadenas de Markov

2.2 Ejemplos de cadenas de Markov

2.3 Estructura probabilística de una cadena de Markov

2.4 Las ecuaciones de Chapman-Kolmogorov

Ejercicios

3 Estados de una cadena de Markov

3.1 Estados alcanzables y comunicables

3.2 Cadenas de Markov irreducibles

3.3 Periodicidad de una cadena de Markov

3.4 Tiempos de transición

3.5 Estados recurrentes y transientes

3.6 Estados absorbentes

3.7 Matriz fundamental

3.8 Distribuciones estacionarias

Ejercicios

4 Teoría de filas

4.1 Introducción

4.2 Estructura de un sistema de filas de espera

4.3 Sistemas de filas de espera

4.4 Características de entrada del sistema

4.5 Modelos analíticos

4.6 Canal simple con llegadas de Poisson y tiempos de servicio con distribución exponencial

4.7 Sistema multicanal en paralelo con llegada según Poisson y tiempos de servicios exponenciales

4.8 Análisis económico de los sistemas de filas de espera

4.9 Ejemplo

5 Problemas y estudio de casos

5.1 Problemas y casos para los capítulos 2 y 3

5.2 Problemas y casos para el capítulo 4

5.3 Problemas y casos sobre toma de decisiones

Apéndice de tablas

1. La función de distribución binomial

2. La función de distribución de Poisson

3. La función de distribución normal estándar

4. Valores críticos para la distribución t

5. Distribución chi-cuadrada

6. Valores críticos para la distribución F

7. Algunas distribuciones continuas

8. Algunas distribuciones discretas

Bibliografía y referencias

Prefacio

Acerca del libro

Este libro fue desarrollado a partir de un conjunto de notas de clase sobre la asignatura Procesos estocásticos y Control de Calidad tanto en los programas de Ingeniería como en la Maestría en Estadística de la Universidad del Norte, pero está dirigido a un público amplio.

Enfoque

El enfoque empleado en este texto hace énfasis en la aplicación e interpretación de los conceptos básicos de los procesos estocásticos, sin dejar de lado el rigor matemático en las distintas definiciones y resultados incluidos en él.

Estructura

Este texto está compuesto por cinco capítulos:

• El capítulo 1 lo iniciamos con algunos conceptos básicos y terminologías de la teoría de probabilidad y se introduce el concepto de proceso estocástico. En el capítulo 2 planteamos los conceptos básicos y características de una cadena de Markov. En el capítulo 3 estudiamos sus estados. En el capítulo 4 exponemos los aspectos conceptuales relacionados con teoría de filas. Y en el capítulo 5, presentamos las aplicaciones.

  Cada capítulo, que se subdivide en secciones y subsecciones, incluye una tabla de contenido. Al final de cada sección hemos incluido ejercicios que varían en grado de dificultad, que involucran la aplicación de la teoría desarrollada en dicha sección. Asimismo, al final de cada capítulo proponemos unos talleres (que ayudarán a repasar todos los conceptos estudiados en el capítulo), que sugerimos deben ser desarrollados y entregados al profesor.

• Un apéndice de tablas estadísticas.
• Una bibliografía en la que relacionamos los documentos y libros consultados, citados o no, que utilizamos como fuentes de información para la escritura de este texto.
• Una sección que contiene las respuestas de algunos ejercicios de número impar.
• Un índice de los términos más importantes utilizados en el texto.

Características principales

Este texto presenta características que permiten crear un entorno que facilite el aprendizaje:

• Escritura de índole conversacional.
• Tabla de contenido al comienzo de cada capítulo.
• Cuadros que resaltan la importancia de los conceptos.
• Ejemplos que ilustran los conceptos que se aprendieron.
• Problemas y talleres con diferentes niveles de dificultad.
• Explicaciones e ilustraciones de las tablas estadísticas.

Signos convencionales utilizados en este texto

• En el texto se citan afirmaciones de la siguiente manera:

  ▷ Números de dos niveles y encerrados en paréntesis (por ejemplo, 5.11) significan números de las ecuaciones. El primer número corresponde al capítulo donde está la ecuación, y el segundo, al número de la ecuación dentro del capítulo.

  ▷ Todos los números de dos niveles y sin paréntesis (por ejemplo, 4.3) hacen referencia a secciones, tablas y figuras. El primer número alude al capítulo donde está la sección, tabla o figura, y el segundo, al número de la sección, tabla o figura dentro del capítulo.

  ▷ Todos los números de tres niveles (por ejemplo, 4.4.5) se refieren a definiciones, axiomas, teoremas y ejemplos del texto (como antes, el primer número corresponde al capítulo, el segundo, a la sección de ese capítulo, y el tercero al número de la definición, axioma, teorema y ejemplo dentro de la sección).

  ▷ Todos los números de tres niveles y acompañados de una letra (por ejemplo, 4.4.5e) hacen referencia a una parte específica de una definición, axioma, teorema y ejemplo dentro del texto, como por ejemplo, a la parte (e).

  ▷ Números sin paréntesis aluden a pies de páginas y números de ejercicios.

• El símbolo ◄ indica el final de un ejemplo.

Observación final

Trabajamos con mucha dedicación para que este libro resultara eficaz a nivel pedagógico y no tuviera errores.

Amable lector, si tiene preguntas, comentarios, observaciones o sugerencias que hacer, o según su parecer algún tema requiere aclaración, o detectó errores evidentes, por favor, póngase en contacto con nosotros a través de las siguientes direcciones: hllinas@uninorte.edu.co y rbarbosa@uninorte.edu.co.

Agradecimientos

Sinceros agradecimientos a la Editorial Universidad del Norte por darnos la oportunidad de publicar este texto.

Agradecimiento especial a Greyci Marimón por escribir gran parte de nuestro material en el computador con ayuda del programa MiKTeX.

También agradecemos a Laura Ramírez Barrios y María Amalia Jubiz, estudiantes de Ingeniería Industrial de la Universidad del Norte, por su valiosa colaboración en el diseño y diagramación de los capítulos 4 y 5, en especial de los gráficos correspondientes.

Finalmente, agradecemos a nuestras madres, padres, esposas e hijos por su apoyo, paciencia, comprensión, amor y ayuda para hacer de este libro una realidad. Lo dedicamos a ellos.

Los autores

CAPÍTULO 1

Introducción a los procesos estocásticos

Contenido

1.1 Preliminares

1.1.1 σ-álgebras

Es importante resaltar que no todo subconjunto de un espacio muestral es un evento. Para que pueda ser catalogado así, dicho evento debe ser un elemento de un conjunto que tiene la estructura de σ-álgebra, concepto que se explicará a continuación.

Definición 1.1.1 Un sistema de subconjuntos de un conjunto Ω ≠ ∅ se llama σ-ÁLGEBRA (en Ω) si posee las siguientes propiedades:

(a) Ω ∈

(b) Si A ∈ , entonces A ≔ Ω \ A ∈

(c) Si A₁, A₂, . . . ∈ , entonces

La dupla (Ω, ) se llama ESPACIO MEDIBLE y los conjuntos de se llaman CONJUNTOS MEDIBLES. Los elementos de se llaman EVENTOS. Todo evento con un solo elemento se llama EVENTO ELEMENTAL.

1.1.2 σ-álgebra generada

Ahora, sea I ≠ ∅ cualquier conjunto de índices y una σ-álgebra en Ω para cada i ∈ I. De la definición se sigue que el conjunto

también es una σ-álgebra en Ω. Ahora, sea cualquier sistema de subconjuntos de Ω y Σ el sistema de todas las σ-álgebras en Ω con ⊆ , entonces

es la σ-álgebra más pequeña que contiene a , es decir, .

Definición 1.1.2 Sea un sistema de subconjuntos de un conjunto Ω ≠ ∅. Entonces la σ-álgebra , definida en (1.1), se llama la σ-ÁLGEBRA GENERADA por (en Ω). El sistema se llama GENERADOR de una σ-álgebra si se tiene que = .

1.1.3 σ-álgebra de Borel

Definición 1.1.3 La menor σ-álgebra sobre ℝ que contine todos los intervalos de la forma (−∞, a] con a ∈ ℝ se llama σ-ÁLGEBRA DE BOREL y se denota por . Los elementos de se llaman CONJUNTOS DE BOREL.

Ya que es una σ-álgebra, entonces los siguientes conjuntos también pertenecen a : (a, ∞), (a, b], (−∞, a), [a, ∞), (a, b), [a, b], {a}, ℕ (conjunto de los números naturales), ℚ (conjunto de los números racionales) y ℚ (conjunto de los números irracionales), donde a, b ∈ ℝ. La verificación de lo anterior se deja como ejercicio.

A continuación se presenta la siguiente definición de σ-álgebra de Borel en ℝⁿ.

Definición 1.1.4 Sean a = (a₁, . . . , a_n) y b = (b₁, . . . , b_n) elementos de ℝⁿ, con a ≤ b, es decir, a_i ≤ b_i para todo i = 1, . . . , n. La σ-álgebra generada por todos los intervalos de la forma

(a, b] ≔ {x = (x_i, . . . , x_n) / a_i < x_i < b_i, i = 1, . . . , n}

se llama σ-ÁLGEBRA DE BOREL (EN ℝⁿ). Los elementos de se llaman CONJUNTOS DE BOREL (en ℝⁿ).

1.1.4 Espacios de probabilidad

Definición 1.1.5 La tripleta (Ω, , P ) se llama un ESPACIO DE PROBABILIDAD si Ω ≠ ∅, es una σ álgebra en Ω (compárese con la definición 1.1.1) y P es una MEDIDA DE PROBABILIDAD, o simplemente una PROBABILIDAD sobre el espacio medible (Ω, ), es decir, para la función P : → ℝ se cumplen los 3 AXIOMAS DE KOLMOGOROV:

(K1) P (A) ≥ 0 para todo A ∈ .

(K2) P (Ω) = 1.

(K3) Para cada sucesión de eventos A₁, A₂, . . . ∈ , disyuntos dos a dos, se cumple la llamada σ-ADITIVIDAD, es decir, .

Cualquier evento A con probabilidad 0 se llama EVENTO NULO.

Ejemplo 1.1.6 Sea Ω = {1, 2, 3}, = {∅, Ω, {1}, {2, 3}} y A ∈ . Demuestre que la siguiente aplicación P definida sobre es una medida de probabilidad:

1.1.5 Probabilidades condicionales

Está dada por

o, equivalente a ello, el llamado TEOREMA DE MULTIPLICACIÓN:

1.1.6 Variables aleatorias

Definición 1.1.7 (a) Sea (Ω, , P ) un espacio de probabilidad y (Ω′, ′) un espacio medible. Una función X : Ω → Ω′ se llama -′-VARIABLE ALEATORIA o, simplemente, VARIABLE ALEATORIA¹ si

(b) En el caso (Ω′ , ′ ) = (ℝ, ) se habla de variables aleatorias REALES.

(c) Para variables aleatorias reales o numéricas X y Y se define

Análogamente, se definen los conjuntos {X ≤ Y}, {X > Y}, {X ≥ Y}, {X = Y} y {X =Y}.

Ejemplo 1.1.8 Sea Ω = {1, 2, 3}, = {∅, {1}, {2, 3}, Ω y P una medida de probabilidad arbitraria definida sobre . Supóngase que (Ω′, ′ ) es un espacio medible con Ω′ = {a, b} y ′ el conjunto potencia de Ω′. Entonces, la aplicación X : Ω → Ω′, definida como sigue, es una -′-variable aleatoria:

Teorema 1.1.9 Sea (Ω, , P) un espacio de probabilidad y X una variable aleatoria real. Entonces, para cada medida de probabilidad sobre se define una medida de probabilidad P_X sobre (ℝ, ) a través de

A esta medida se le conoce como MEDIDA INDUCIDA por X.

Definición 1.1.10 Consideremos la situación del teorema 1.1.9. Entonces, la medida de probabilidad P_X se llama DISTRIBUCIÓN DE LA VARIABLE ALEATORIA X. Escribiremos si D es la distribución de X. La notación significa que las variables aleatorias X y Y tienen la misma distribución.

Ejercicio 1.1.11 Sea Ω = {1, 2, 3}, = {∅, {1}, {2, 3}, Ω} y P dada por

Si Ω′ = {a, b}, ′ es el conjunto potencia de Ω′ y X : Ω → Ω′ está definida por

halle la distribución P_X de X.

1.1.7 Algunas distribuciones especiales de probabilidad

1. Distribuciones especiales discretas:
   Uniforme discreta, de Bernoulli, binomial, de Poisson, hipergeométrica, binomial negativa, geométrica, de Polya, multinomial, etc.
2. Distribuciones especiales continuas:
   Uniforme continua, normal, gamma, exponencial, t de Student, Chicuadrada, F de Fisher, Cauchy, Beta, de Laplace, Log-normal, de Rayleigh, Weibull, de Maxwell, de valor extremo, etc.

Al final del apéndice presentamos un resumen de algunas de las distribuciones continuas y discretas más importantes, junto con sus momentos y algunas tablas para facilitar el cálculo de probabilidades y de cuantiles.

1.2 Procesos estocásticos

La teoría de los procesos estocásticos juega un papel importante en la investigación de fenómenos aleatorios que dependen del tiempo. Los fundamentos de su teoría matemática se deben a A. N. KOLMOGOROV [12]. Desde ese entonces, la teoría y las aplicaciones de los procesos estocásticos han mostrado un desarrollo constante.