Principios de Econometría

© Instituto Tecnológico Metropolitano

Ediciones

Html, oct 2017: ISBN 978-958-5414-18-1

Epub, feb 2019: ISBN 978-958-5414-74-7

Pdf, feb 2019: ISBN 978-958-5414-73-0

Autores

DAVID E. RODRÍGUEZ GUEVARA

GABRIEL J. GONZÁLEZ URIBE

Directora Editorial

SILVIA INÉS JIMÉNEZ GÓMEZ

Comité Editorial

JAIME ANDRES CANO SALAZAR, PHD.

SILVIA INES JIMENEZ GOMEZ, MSC.

EDUARD EMIRO RODRIGUEZ RAMIREZ, MSC.

VIVIANA DIAZ, ESP.

Corrección de textos

LILA MARÍA CORTÉS FONNEGRA

Asistente Editorial

VIVIANA DÍAZ

Diagramación

JORGE DAVID GARCÉS

Diseño carátula

LEONARDO SÁNCHEZ

Editado en Medellín, Colombia

Sello editorial Fondo Editorial ITM

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Prefacio

La econometría es la rama de la economía que se encarga de medir procesos económicos y sociales, brindando profundidad matemática y teórica para desarrollar predicciones de eventos futuros basados en las variables involucradas en tales procesos. Por ejemplo, la econometría ha sido ampliamente utilizada para medir y predecir el consumo de energía eléctrica, predecir la decisión de pago de algún cliente de una entidad bancaria o medir el Producto Interno Bruto de una nación, entre otras aplicaciones.

Para obtener las predicciones, la econometría se apoya en un conjunto de teorías económicas, estadísticas y algebraicas, las cuales permiten elaborar modelos econométricos que son la expresión matemática de la relación entre las variables involucradas.

Principios de econometría es un libro que busca dar un complemento más amigable a las personas que están iniciando el estudio de la econometría aplicada, que se basa en la experiencia docente de los autores, obtenida en años de ejercicios realizados en clase, demostraciones matemáticas, consultorías y la lectura de libros más complejos sobre el tema.

El desarrollo de la temática de Principios de econometría inicia con la formulación y explicación de los modelos lineales, principalmente, aquellos basados en el estimador de mínimos cuadrados ordinarios; continúa con la explicación e implicaciones de los supuestos de este estimador; siguiendo con el desarrollo de los principales temas de bondad de ajuste, como el coeficiente de determinación y su versión ajustada, criterios de información y pruebas de hipótesis de significancia individual y global; dando paso a un capítulo donde se explica qué son las variables dummy y cuáles son las principales consecuencias de su uso en modelos econométricos; finalizando con un apartado donde se discute el uso de modelos probabilísticos y su utilidad en las finanzas.

Contenido

1 EL MODELO CLÁSICO DE REGRESIÓN LINEAL

1.1 ¿Qué es la econometría?

1.2 El modelo de regresión lineal

1.3 El Estimador de Mínimos Cuadrados Ordinarios (EMCO)

1.3.1 Supuestos del EMCO

Linealidad

Rango completo

Esperanza condicional de los errores debe ser igual a cero

Perturbaciones esféricas

Variables explicativas no aleatorias

Normalidad de los errores

1.4 Estimación de los parámetros del modelo

2 BONDAD DE AJUSTE DE LOS MODELOS

2.1 ¿Qué es la bondad de ajuste?

2.1.1 Sumas al cuadrado

2.1.2 Coeficiente de determinación R²

Principales problemas del coeficiente de determinación

Coeficiente de determinación ajustado

2.1.3 Criterios de información

2.1.4 Pruebas de hipótesis

Pruebas de significancia individual

Prueba de significancia global (F-Fisher –Snedecor)

3 VARIABLES DUMMY

3.1 ¿Qué son las variables dummy?

3.2 Construcción de las variables dummy

3.3 No cumplimiento de la condición de rango: la trampa de la variable dummy

3.4 La categoría base y los sub-modelos con variables dummy

3.4.1 La categoría base

3.4.2 Los sub-modelos de adición

3.5 Interpretación de las variables dummy

3.6 El problema del análisis de la categoría base

3.7 Efectos de interacción utilizando variables dummy

4 MODELOS PROBABILÍSTICOS

4.1 ¿Qué son los modelos probabilísticos?

4.1.1 Distribución Bernoulli

4.2 Modelos Lineales Probabilísticos (MLP)

4.2.1 Alternativas al modelo lineal probabilístico

4.3 Modelos LOGIT o Regresión Logística

4.3.1 Interpretación de los modelos LOGIT (efecto marginal)

4.4 Modelo PROBIT (Normit)

4.4.1 Efectos marginales (modelo PROBIT)

4.5 Estimador de Máxima Verosimilitud para modelos LOGIT Y PROBIT

NOTAS AL PIE

1.1 ¿Qué es la econometría?

La palabra econometría proviene del griego oiko-nomos que es relativo a la administración de la casa o a la economía, y de metría relativo a la medición, es decir, la econometría etimológicamente indica la medición de la economía. De acuerdo con el diccionario de la Real Academia Española, la econometría es «parte de la ciencia económica que aplica las técnicas matemáticas y estadísticas a las teorías económicas para su verificación y para la solución de los problemas económicos mediante modelos» (Real Academia Española, 2014).

Sin embargo, una definición más detallada de lo que es econometría es: disciplina que combina la teoría económica, la matemática y la estadística, para explicar, modelar y medir las relaciones cuantitativas y/o cualitativas de las variables económicas.

Por tanto, la econometría en sí no es una ciencia, sino un instrumento matemático que permite modelar diferentes fenómenos bajo conceptos teóricos usando variables cuantitativas y cualitativas; para entender cómo estos fenómenos son explicados, la forma más simple que puede ofrecer la matemática misma es la explicación de variables en una función lineal siendo esta f(x) = b + m(x). A continuación, se explica cómo este proceso matemático básico se transforma en modelos econométricos.

1.2 El modelo de regresión lineal

Una de las herramientas de la econometría más utilizadas es el modelo de regresión lineal, este modelo es el punto de partida de muchos estudios econométricos. Dichos modelos nacen de la función del algebra elemental que relaciona dos vectores de información, el cual busca identificar que tanto un vector explica al otro. A esto le conocemos como una función de X o variable independiente se relaciona con una variable Y o variable dependiente.

f(Y, X)

Esta función se le conocerá como una función polinómica de primer grado, en la cual se involucra un valor constante conocido como punto de corte (b), que dará el valor de inicio de la función, este puede ser positivo o negativo; en esta función, también se incluye un valor de relación entre X y Y, conocido como pendiente (m), que explica el nivel de relación entre las dos variables. Siendo la función f(Y, X):

Y = b ± m(X)

En la econometría, dicha función se usa exactamente igual al relacionar dos variables (Y, X), pero con la diferencia que dichas funciones se conocerán como «modelos»¹ y que a la función hay que agregarle una variable extra para hacer la relación teóricamente perfecta. Siendo así, a estos modelos se les conoce como: modelos de regresión lineal, los cuales tienen la siguiente configuración matemática:

Donde:

Nótese que, la ecuación (1.1) como tal, no difiere mucho de una función lineal, solamente tiene diferente notación, pero, con más detalle se observa que se encuentra un valor de ε_i este valor es la diferencia que hay entre los valores de Y, y la relación α + β₂X_i2 que teóricamente explica al anterior cuando no son iguales.

Teniendo en cuenta lo anterior, la forma de modelo (1.1) se conocerá como modelo de regresión lineal simple, debido a la relación de una Y y una X. Pero en versiones más extensas, el modelo puede relacionar la variable dependiente Y con dos o más variables independientes, en este caso diremos que se trata de un modelo de regresión lineal múltiple, el cual tiene la siguiente forma:

Donde:

En el siguiente ejemplo se ilustra la manera cómo la econometría permite modelar un fenómeno bajo la estructura de la definición anterior, utilizando un modelo de regresión lineal múltiple.

Ejemplo 1.1 La demanda de manzanas

Suponga que una compañía que se dedica a la producción de manzanas desea contratarlo para que adelante un estudio de mercado, pues está interesada en determinar cuáles son los factores que afectan la demanda de las manzanas y por ende las ventas.

Para ello, usted propone elaborar un modelo econométrico a fin de estimar el valor esperado de la demanda de manzanas, utilizando como fuente los datos históricos de algunas de las variables más relevantes que expliquen el comportamiento de la demanda de manzanas.

Lo que le dice la teoría económica: en general la demanda de un bien depende de un gran número de factores: el tipo de bien que se esté considerando (si es normal, inferior, de lujo, Giffen), el precio del bien, el ingreso de las personas, el precio de un bien sustituto, los gustos de las personas, el clima, etc. Es decir, según la teoría podemos expresar la siguiente relación:

Demanda = f(Precio, Ingreso, Sustitutos, ...)

Igualmente, la teoría dice cuál es la relación esperada entre cada variable explicativa (lado derecho de la anterior ecuación) y la variable explicada (lado izquierdo de la anterior ecuación). Por ejemplo, la ley de oferta y demanda predice que, si las manzanas son un bien ordinario (Varian, 2002, p. 107), a medida que su precio aumente su demanda caerá. De la misma manera, la teoría indica que aumentos en el ingreso de las personas hará que la demanda de manzanas aumente, si las manzanas no son un bien inferior.

Afortunadamente, para estimar el valor esperado de la demanda de manzanas no es necesario involucrar todas las variables que la afectan. La teoría dice que podemos predecir el comportamiento de alguna variable utilizando sus principales determinantes. En este caso, podemos utilizar la información del precio de las manzanas, el ingreso de los individuos y el precio de un bien sustituto para predecir su comportamiento. A los modelos que utilizan la menor cantidad de variables para explicar de la mejor manera el fenómeno, se les conoce como modelos parsimoniosos.

Lo que dice la matemática: si se supone que existe una relación lineal entre las variables, y se tiene una muestra de «n» individuos, nuestra base de datos tendría la siguiente estructura,

Sea:

A la variable Y la denominaremos como variable dependiente, y las demás variables las denominaremos variables independientes. Ahora, si a cada variable independiente le asignamos un parámetro, de tal manera que la multiplique, y si representamos la información anterior como un sistema de ecuaciones lineales que comparten un mismo intercepto, entonces podemos reescribir en forma matricial el sistema de ecuaciones así:

Donde el vector de parámetros β = {α, β₂, β₃, β₄} indica el efecto que tiene un cambio unitario en cada variable independiente sobre la variable dependiente, con excepción de α que es el intercepto de cada ecuación.

Lo que dice la estadística: el sistema de ecuaciones anterior es un sistema matemático, pues indica que basta con conocer el valor de los parámetros para predecir con total certeza el valor que tome la variable dependiente. Pero en la realidad esto es imposible, la razón es sencilla, si el modelo permite hacer predicciones sobre el valor que tome la variable dependiente en función de las variables independientes, dichas predicciones deberán tener algún margen de error, pues en términos del ejemplo, la demanda de manzanas puede variar por otras razones diferentes a su precio, los ingresos de las personas y el precio del bien sustituto, por ejemplo, algún cambio climático que afecte la producción de manzanas puede provocar que aumente su precio de manera no prevista y por ende su demanda, o es posible que por algún motivo los gustos que los individuos tengan por el consumo de manzana cambie, bien sea porque se considera que estas no son saludables por la forma como se cosechan o simplemente dejan de ser apetecidas.