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Índice

Tapa

Índice

Colección

Portada

Este libro (y esta colección)

Prefacio a la segunda edición

Prefacio a la primera edición (actualizado)

Introducción

Parte I. Nuestra herencia numérica

1. Animales talentosos

Un poco de astucia equina

Ratas que cuentan

¿Cuán abstractos son los cálculos animales?

La metáfora del acumulador

¿Hay neuronas detectoras de número?

Contando en la niebla

Los límites de la matemática animal

Del animal al hombre

2. Contar a los pocos meses

Bebé, modelo para armar: la teoría de Jean Piaget

Los errores de Piaget

Cada vez más jóvenes

El poder de abstracción de los bebés

¿Cuánto es 1 más 1?

Los límites de la aritmética infantil

El número: innato y adquirido

3. Nuestra herencia numérica

1, 2, 3… y lo demás

Acercándonos a los números grandes

La cantidad detrás de los símbolos

La compresión mental de números grandes

Entender por reflejo

Números en el espacio

El colorido universo de los números

Intuiciones numéricas

Parte II. Más allá de la aproximación

4. El lenguaje de los números

Una breve historia de los números

Un registro permanente de los números

El principio del valor posicional

Una gran diversidad de lenguajes numéricos

Los costos de no hablar chino

Aprender a etiquetar cantidades

Números redondos, números exactos

¿Por qué algunos numerales son más frecuentes que otros?

El cerebro: motor y medida de la evolución cultural

5. Pequeñas cabezas para grandes cálculos

Contar: el ABC del cálculo

Inventar algoritmos también es cuestión de chicos

La memoria entra en escena

Las tablas de multiplicar: ¿una práctica que no está en nuestra naturaleza?

¡La memoria verbal al rescate!

Cuando los algoritmos de cálculo están fallados

Pros y contras de la calculadora electrónica

El “hombre anumérico”: dime en qué país estudias y te diré cómo calculas

Enseñar el sentido numérico: lo que la escuela puede hacer

6. Genios y prodigios

Un bestiario numérico

El paisaje de los números

La frenología y la búsqueda de las bases biológicas de la genialidad

¿El talento matemático es un don biológico?

Cuando la pasión engendra talento

Parámetros ordinarios para calculistas extraordinarios

Recetas para el cálculo relámpago

El talento y la invención matemática

Parte III. De neuronas y números

7. Perder el sentido numérico

El señor N., el hombre aproximativo

Un déficit bien delimitado

Un campeón del absurdo numérico

La corteza parietal inferior y el sentido numérico

Ataques inducidos por la matemática

Los múltiples significados de los números

Las autopistas de información numérica del cerebro

¿Quién organiza los cálculos?

En los orígenes de la especialización cerebral

8. El cerebro calculador

¿El cálculo mental aumenta el metabolismo cerebral?

El principio de la tomografía por emisión de positrones (PET)

¿Se puede localizar el pensamiento matemático?

Cuando el cerebro multiplica o compara

El tomógrafo, los positrones y sus límites

El cerebro electrificado

¿Cuánto tiempo hace falta para acceder a la recta numérica?

Comprender la palabra “dieciocho”

Neuronas matemáticas

9. ¿Qué es un número?

¿El cerebro es una máquina lógica?

Cómputos analógicos en el cerebro

Cuando la intuición supera a los axiomas

Platónicos, formalistas e intuicionistas

La construcción y la selección de la matemática

La efectividad irracional de la matemática

Parte IV. La ciencia contemporánea del número y el cerebro

10. El sentido numérico, quince años después

Números en el cerebro

Números en el espacio y el tiempo

Neuronas para números

Números en bebés

La especial condición de los números 1, 2 y 3

¿Cómo funciona la subitización?

Números en la selva amazónica

De la aproximación a los números exactos

La comprensión de las diferencias individuales y la discalculia

De la cognición numérica a la educación

Conclusión

Apéndice A

Apéndice B

Bibliografía

Este libro (y esta colección)

Y el ángel de los números / pensativo, volando / del 1 al 2, del 2 /

al 3, del 3 al 4.

Rafael Alberti, “El ángel de los números”

Nos pasamos la infancia / contando piedras, plantas, / dedos, arenas, dientes, / la juventud contando / pétalos, cabelleras. / Contamos los colores, los años, / las vidas y los besos […]. /

El tiempo se hizo número. / Nos rodearon los números.

Pablo Neruda, “Oda a los números”

En el principio fue el número. Quizás antes que el cerebro. Luego juntaron sus caminos, convirtiendo nuestra capacidad de ver el mundo matemáticamente en un verdadero sentido –para algunos, el sexto sentido de nuestro cuerpo–.

Ahora bien, ¿qué le pedimos a un sentido? Por ejemplo, que existan áreas cerebrales especializadas que se activen cuando desarrollamos esa experiencia sensorial. Eso es lo que ocurre, de hecho, con los números, tanto en cerebros de primates no humanos como en el nuestro; en efecto, allá por el área parietal (un poco más arriba que las orejas, ideal para el cabezazo certero y al ángulo), se producen respuestas a los estímulos de cantidades. Un verdadero mapa cerebral de los números y, por cierto, uno muy preciso: Stanislas Dehaene y su grupo demostraron que existen áreas parietales diferentes para la estimación o la comparación numérica, y otras, por ejemplo, para la multiplicación.

En el origen de sus investigaciones hubo algunos casos clínicos, como el paciente N., quien para llegar a una cantidad determinada se veía obligado a recitar la serie de números naturales. A este paciente se lo podía considerar un “hombre de la aproximación”, ya que sus cálculos arrojaban resultados aproximados: 2 + 2 da algo entre 3 y 5, y su año tiene “cerca de trescientos cincuenta días”. Estudiando su cerebro, Dehaene fue pionero en la investigación de un sentido del número, recorriendo un universo que va de los animales a los humanos de diferentes culturas, de los bebés a los genios de la matemática.

Es que no estamos solos en este sentido del número: los animales (monos, ratas, palomas, salamandras, delfines o leones, por citar algunos estudios) parecen tenerlo. Y también los animales más extraños de todos, los bebés, esos locos bajitos que se incorporan… y cuentan todo lo que hay en su mundo. Sí: mientras que es posible entrenar a una rata para recibir comida sólo si aprieta una palanca una cantidad específica de veces, un bebé de seis meses distingue claramente cantidades y relaciones de mayor/menor. Estos pequeñitos pueden reconocer sumas o restas sencillas –así que tengan cuidado cuando quieran explicarles dulcemente que tal juguete es mucho más caro que otro–.

Una de las principales preguntas en esta historia es si nuestra capacidad de interpretar la naturaleza numérica viene de fábrica o si necesariamente la vamos aprendiendo. Los experimentos con niños de meses de edad (¡meses!) son reveladores al respecto, según los resultados arrojados por el propio Dehaene. Por otra parte, somos especialistas en trazar una geografía de los números o, en otras palabras, ponerlos sobre mapas (mentales o de papel). Nos resulta sencillo pensar en una regla con los números ordenados uno tras otro –aunque esta habilidad se puede trastocar con ciertos tipos de lesiones mentales–. Pero hay mucho más en el mundo de lo que pueden nuestra matemática y nuestra civilización. Ciertas tribus de Nueva Guinea son incapaces de trazar líneas numéricas, mientras que otras, como los mundurucus del Amazonas (también estudiados por el autor), utilizan mentalmente escalas logarítmicas y no lineales. ¿Será entonces que los números son innatos, pero las líneas dependen del delineador y su cultura? ¿Y qué sucede en aquellas culturas que, directamente, no tienen palabras para identificar a los números, como los pirahãs, o que sólo pueden “contar” hasta 5, como los mundurucus (y la palabra “cinco” es la misma que se usa para “una mano”)? ¿Será que la necesidad del conteo, o la del sentido del número, se fue afianzando a medida que los humanos se establecieron en comunidades, desarrollaron la agricultura y, más adelante, los almacenes chinos?

La pregunta sobre “naturaleza vs. cultura” es fundamental en el debate de la numerología cerebral y, como suele suceder, hay una suerte de empate técnico. Si bien ya venimos a este mundo con el cerebro preparado para el sentido del número, también es preciso desarrollarlo. El pasaje de contar con los dedos a imaginar las cuentas tiene que ser fomentado paso a paso, como saber de memoria las tablas de multiplicar (algo que para nuestro cerebro no resulta nada trivial): aquí hay una verdadera educación del sentido del número, una de las aplicaciones de las investigaciones de Dehaene en la escuela.

Asimismo, y como corresponde a toda neurociencia cognitiva que se precie de tal, también hay diferencias de género en esto del “sentido del número”. Un experimento realizado con miles de personas en Inglaterra demostró que las mujeres son mejores y más rápidas en la estimación inmediata de cantidades pequeñas (que el cerebro cuenta de manera diferente –y más precisa– que cuando se trata de números más grandes). Y si encima son jugadoras de videojuegos, mejor… porque ese vicio de nuestros tiempos además ayuda a identificar de modo instantáneo números de cosas en la pantalla (algún beneficio tienen que tener tantísimas horas de Call of Duty, Minecraft o Plantas versus Zombies).

No es casual que Dehaene sea, desde hace tiempo, uno de los principales investigadores en este tema: él mismo tiene una fuerte educación en matemática y computación, que en algún momento derivó hacia el estudio del cerebro. Su intuición de nuestra manera de calcular de inmediato cantidades pequeñas (algo así como “subitar” –por lo súbito del cálculo–) lo llevó a predecir numéricamente la respuesta de nuestro cerebro –intuición que, paso a paso, fue comprobada experimentalmente–. Claro, lo que suena menos intuitivo es por qué evolucionamos con este sentido del número. Y aquí aparece otra genialidad del autor –que ya nos deslumbró con una idea similar en su maravilloso El cerebro lector–: esta numerosidad cerebral puede corresponder a un reciclado de áreas que originalmente tenían otra función y fueron aprovechadas para saber si se vienen demasiados enemigos y conviene huir al trote, o si un árbol tiene más manzanas que otro. Según el propio Dehaene, “las palabras escritas o los números pueden considerarse parásitos que invaden sistemas cerebrales que, en un principio, estaban destinados a un uso bastante diferente”. Como diría William Burroughs, el lenguaje es un virus del espacio exterior; quizá, los números también lo sean.

Y todo esto llega inexorablemente a la escuela. Pasadas algunas décadas de ese intento llamado “matemática moderna”, que presuponía que los más chiquitos eran incapaces del cálculo –y que mi generación vivió especialmente en la Argentina–, las investigaciones sobre el sentido del número pueden ayudar a una enseñanza más adecuada de lo que inevitablemente se convierte en el terror de cualquier alumno. Todos tenemos más o menos el mismo cerebro, que sabe sumar, restar y comparar cantidades de manera intuitiva, y para el cual multiplicaciones o divisiones complejas pueden transformarse en una pesadilla. Entonces, mediante juegos y lecciones, el autor ofrece recorridos para que el diablo de los números entre amigablemente al aula.

Si bien este libro nos llega un poco desordenado en la biografía del autor (fue su primer texto destinado al público general), engalana perfectamente nuestra biblioteca junto a los extraordinarios El cerebro lector (y su hermano menor, Aprender a leer) y La conciencia en el cerebro, integrando una trilogía apasionante que nada tiene que envidiar a guerras galácticas o señores con anillos.

La naturaleza y la cultura recorren estas páginas, entre animales, bebés, niños prodigio y, sobre todo, el más maravilloso objeto del universo, mezcla de ábaco, tabla de multiplicar, identificador de patrones y admirador de símbolos abstractos: nuestro propio cerebro.

Esta colección de divulgación científica está escrita por científicos que creen que ya es hora de asomar la cabeza por fuera del laboratorio y contar las maravillas, grandezas y miserias de la profesión. Porque de eso se trata: de contar, de compartir un saber que, si sigue encerrado, puede volverse inútil. Esta nueva serie nos permite ofrecer textos más extensos y, en muchos casos, compartir la obra de autores extranjeros contemporáneos.

Ciencia que ladra… no muerde, sólo da señales de que cabalga. Y si es Serie Mayor, ladra más fuerte.

Diego Golombek

Prefacio a la segunda edición

Sin proponérselo, un libro científico es una cápsula de tiempo. No tiene fecha de vencimiento, lo que en muchos casos significa que los lectores evaluarán sus teorías, hechos y evidencias muchos años después de la publicación, y lo harán con omnisciencia retrospectiva. Este libro, que escribí cuando todavía no había cumplido los 30, no es una excepción a esta regla.

Tuve la suerte de comenzar a trabajar en este libro durante los primeros años de la década de 1990, en un momento en que la investigación sobre el número estaba dando los primeros pasos. Un puñado de laboratorios empezaba apenas a rozar el tema, inaugurando este campo de investigación. Algunos hacían foco sobre cómo los niños percibían conjuntos de objetos. Otros se especializaban en la forma en que los niños en edad escolar aprenden las tablas de multiplicar, o estudiaban el extraño comportamiento de los pacientes que sufren lesiones cerebrales que alteran las habilidades para el cálculo. Por último, algunos –entre ellos, yo– hacían las primeras incursiones en la investigación en neuroimágenes para descubrir qué áreas cerebrales se activan cuando a los estudiantes se les hace una pregunta aritmética sencilla, como “¿6 es más grande que 5?”. En ese momento, sólo unos pocos de nosotros podíamos ver que todos estos estudios un día confluirían en un solo campo, la cognición matemática, con una serie de técnicas multifacéticas que apuntaban a responder a la estimulante pregunta de Warren McCulloch:

¿Qué es un número, que el hombre puede conocerlo, y qué es un hombre, que puede conocer un número?

Escribí este libro con este sencillo objetivo: reunir todos los datos disponibles acerca de cómo el cerebro realiza operaciones aritméticas elementales y probar que se estaba gestando un nuevo y promisorio campo de investigación, lleno de descubrimientos empíricos por realizar. También confiaba en la posibilidad de echar algo de luz sobre las viejas disputas filosóficas que cuestionaron la naturaleza misma de la matemática. Durante los tres años que me llevó compilar las diferentes líneas de investigación en esta área, mi entusiasmo aumentaba a medida que notaba que todas las piezas de ese rompecabezas complejo encajaban en un todo coherente. La investigación con animales sobre el número se enfocaba en una competencia milenaria para el procesamiento de cantidades numéricas aproximadas. Este “sentido numérico”, que también está presente en los bebés, les daba a los humanos la intuición del número. Invenciones culturales como el ábaco o los números arábigos lo transformaron luego en nuestra capacidad completa para la matemática simbólica. Así, resultó obvio que una mirada detallada a las estructuras cerebrales del sentido numérico sería muy reveladora acerca de nuestra comprensión de la matemática. Eso daba una perspectiva clara de los mecanismos de la evolución, y conjugaba nuestras habilidades humanas para la matemática con la forma en que los cerebros de los monos (o incluso los de las ratas y las palomas) representan los números.

Desde que se escribió este libro, cerca de quince años atrás, un frenesí de investigación innovadora ha dado a esta área un ímpetu más fuerte que el que nunca imaginé. La cognición matemática es hoy un campo importante de la ciencia cognitiva, y ya no se centra exclusivamente en el concepto del número y sus orígenes, sino que se ha expandido a los campos relacionados del álgebra y la geometría. Varios temas de investigación que fueron apenas esbozados en este libro se han convertido en áreas de investigación por derecho propio: el sentido numérico en los animales, neuroimágenes de cómputos matemáticos, la naturaleza de la discalculia (el déficit en los niños que tienen dificultades matemáticas), etc. Uno de los logros más emocionantes ha sido el descubrimiento de neuronas independientes que codifican el número en el cerebro del mono, en una localización precisa en el lóbulo parietal, que parece ser un homólogo plausible de las regiones corticales que se activan cuando hacemos cálculos mentales. Otra corriente de investigaciones en constante y veloz desarrollo está relacionada con la aplicación de este conocimiento a la educación: ya empezamos a comprender cómo la escuela desarrolla un sentido exacto del número y la aritmética, y cómo se puede ayudar con juegos y programas informáticos pedagógicos muy simples a los niños que están en riesgo de desarrollar discalculia.

Cuando releí la primera edición de este libro, fue muy grato ver que todas estas ideas ya estaban en germen, aunque en forma algo especulativa, hace quince años. Ahora que los resultados de las investigaciones les han dado un fundamento sólido, estoy convencido de que es apropiado lanzar una nueva edición. Por supuesto, muchos libros excelentes se han publicado desde 1997, entre ellos Mathematical Brain de Brian Butterworth (1999), Where Mathematics Comes From de Rafael Núñez y George Lakoff (2000) y el Handbook of Mathematical Cognition, editado por Jamie Campbell (2004). Ninguno de ellos, sin embargo, abarca el rango completo de lo que hoy sabemos acerca del número y el cerebro.

Estoy agradecido a mis agentes, Max y John Brockman, y a mis editoras, Abby Gross y Odile Jacob, quienes me alentaron a embarcarme en esta nueva versión y me ayudaron a decidir qué forma debía tener. De inmediato coincidimos en que reescribir el pasado sería incómodo o hasta presuntuoso. Parecía preferible darle al lector una sensación apropiada de cómo nació el campo hace veinte años, lo que motivó nuestras hipótesis actuales, y cómo los métodos experimentales evolucionaron desde aquel momento, ya fuera para sustentar nuestras teorías o, algunas veces –por fortuna no muchas–, para refutarlas. Por ende, concebimos una segunda edición que dejaría intacta la original pero le agregaría referencias nuevas y, sobre todo, un extenso capítulo final que resume los descubrimientos más destacados que se hicieron desde la primera edición. Seleccionar los descubrimientos que debían estar en este capítulo fue una tarea ardua, dado que en los últimos quince años el campo creció de modo exponencial. En efecto, hay cientos de descubrimientos científicos relevantes. Sin embargo, decidí limitarme a una pequeña lista de datos sorprendentes que, según creo, iluminan nuestra comprensión de qué es la aritmética en el nivel cerebral, y, por lo tanto, cómo deberíamos enseñarla.

La mayoría de los matemáticos, abierta o encubiertamente, adoptan una perspectiva platónica acerca de su disciplina. Se ven a sí mismos como exploradores de un continente de ideas independientes de la mente humana, más viejas que la vida misma e inmanentes en la estructura misma del universo. En cambio, en su clásico tratado ¿Qué son y para qué sirven los números?, el gran matemático alemán Richard Dedekind pensó que los números son “creaciones libres de la mente humana”, “una emanación inmediata de las leyes puras del pensamiento”. Por mi parte, no podría estar más de acuerdo, ni expresar mejor mi convicción; pero entonces la responsabilidad de esclarecer esos orígenes definitivamente recae sobre los psicólogos y neurocientíficos, que deberán desentrañar cómo un cerebro, un conjunto finito de células nerviosas, puede concebir pensamientos tan abstractos. Este libro debería considerarse un modesto aporte para resolver esta cuestión, que indudablemente seguirá fascinándonos durante mucho tiempo.

S. D.

Palaiseau, Francia,

julio de 2010

Prefacio a la primera edición (actualizado)

Estamos rodeados de números. Trazados sobre tarjetas de crédito o grabados sobre monedas, impresos en cheques o alineados en hojas de cálculo digitalizadas, los números rigen nuestras vidas. En efecto, están situados en el núcleo de nuestra tecnología. Sin los números, no podríamos enviar cohetes a otros sitios del sistema solar, tampoco construir puentes, intercambiar bienes o pagar nuestras cuentas. Así, los números son invenciones culturales sólo comparables en importancia a la agricultura o a la rueda. Pero pueden tener raíces todavía más profundas. Miles de años antes de Cristo, los científicos babilonios utilizaban ingeniosas notaciones numéricas para compilar tablas astronómicas de sorprendente precisión. Hay testimonios de que cientos de miles de años antes de esto, los hombres del neolítico grababan los primeros símbolos numéricos escritos en huesos o pintados como puntos en las paredes de las cavernas. Y, según intentaré demostrar más adelante, todavía millones de años antes, mucho antes de que apareciera el Homo sapiens, los animales de todas las especies ya guardaban registro de los números y los utilizaban en cómputos mentales simples. Entonces, ¿los números pueden ser tan viejos como la vida misma? ¿Es posible que estén inscriptos en la estructura de nuestros cerebros? ¿Todos tenemos un “sentido numérico”, una intuición especial que nos ayuda a comprender los números y la matemática?

Cerca de los 16 años, cuando estaba estudiando para llegar a ser un matemático, sentía fascinación por los objetos abstractos que mis docentes me enseñaban a manipular y, sobre todo, por los más simples de ellos: los números. ¿De dónde venían? ¿Cómo era posible que mi cerebro los comprendiera? ¿Por qué dominarlos parecía tan difícil para la mayoría de la gente? Los historiadores de la ciencia y los filósofos de la matemática habían provisto algunas respuestas tentativas; pero para una mente de orientación científica, el carácter especulativo y contingente de estas explicaciones era insatisfactorio. Es más, en los libros que yo conocía, montones de hechos intrigantes acerca de los números y la matemática quedaban sin respuesta. ¿Por qué todas las lenguas tenían al menos algunos nombres para los números? ¿Por qué todos parecían sentir que las multiplicaciones por siete, ocho o nueve eran particularmente difíciles de aprender? ¿Por qué parecía que yo no podía reconocer más de cuatro objetos de un vistazo? ¿Por qué había diez chicos por chica en los cursos de matemática avanzada a los que asistía? ¿Cuáles eran los trucos que les permitían a los calculistas mentales multiplicar dos números de tres dígitos en unos pocos segundos?

Mientras aprendía cada vez más sobre psicología, neurofisiología y ciencia computacional, se volvió obvio que no había que buscar las respuestas en los libros de historia, sino en la estructura misma de nuestros cerebros, el órgano que nos permite crear la matemática. Desde la perspectiva de un matemático, ese era un momento apasionante para orientarse hacia la neurociencia cognitiva. Parecía que cada mes surgían nuevas técnicas experimentales y resultados sorprendentes. Algunos revelaban que los animales podían resolver problemas aritméticos simples. Otros preguntaban si los bebés tenían alguna noción de cuánto es 1 más 1. También comenzaban a estar disponibles herramientas de imágenes funcionales que permitían visualizar los circuitos activos del cerebro humano cuando calcula y resuelve problemas aritméticos. De pronto, las bases psicológicas y cerebrales de nuestro sentido numérico estaban franqueadas a la experimentación. Un nuevo campo de la ciencia estaba emergiendo: la cognición matemática, o la investigación científica acerca de cómo el cerebro da lugar a la matemática. Tuve la suerte de convertirme en un participante activo en esta búsqueda. Este libro aporta una primera mirada a este nuevo campo de investigación que mis colegas de París y varios equipos de investigación a lo largo del mundo todavía están desarrollando.

Estoy en deuda con muchas personas por ayudarme a completar la transición desde la matemática hacia la neuropsicología. En primer lugar y principalmente, mi programa de investigación sobre la aritmética y el cerebro nunca podría haberse desarrollado sin la asistencia generosa de tres sobresalientes docentes, colegas y amigos que merecen agradecimientos muy especiales: Jean-Pierre Changeux en neurobiología, Laurent Cohen en neuropsicología y Jacques Mehler en psicología cognitiva. Su apoyo, su consejo y a menudo su contribución directa al trabajo que aquí se describe han sido de una ayuda invaluable.

Me gustaría expresar mi gratitud a mis muchos compañeros de investigación de las últimas dos décadas, y particularmente a la contribución crucial de muchos estudiantes y posdoctorandos, muchos de los cuales se volvieron colaboradores esenciales y, simplemente, amigos con los que cuento: Rokny Akhavein, Serge Bossini, Marie Bruandet, Antoine Del Cul, Raphaël Gaillard, Pascal Giraux, Ed Hubbard, Veronique Izard, Markus Kiefer, André Knops, Étienne Koechlin, Sid Kouider, Gurvan Leclec’H, Cathy Lemer, Koleen McCrink, Nicolas Molko, Lionel Naccache, Manuela Piazza, Philippe Pinel, Maria-Grazia Ranzini, Susannah Revkin, Gérard Rozsavolgyi, Elena Rusconi, Mariano Sigman, Olivier Simon, Arnaud Viarouge y Anna Wilson.

Para la primera edición de este libro, también conté con los consejos de muchos otros científicos eminentes. Mike Posner, Don Tucker, Michael Murias, Denis Le Bihan, André Syrota y Vernard Mazoyer compartieron conmigo su conocimiento profundo de las imágenes cerebrales. Emmanuel Dupoux, Anne Christophe y Christophe Pallier me asesoraron sobre psicolingüística. También estoy muy agradecido por los movilizantes debates con Rochel Gelman y Randy Gallistel, y por las acertadas observaciones de Karen Wynn, Sue Carey y Josiane Bertoncini acerca del desarrollo infantil. El fallecido profesor Jean-Louis Signoret ya me había hecho conocer el fascinante dominio de la neuropsicología. Posteriormente, numerosas discusiones con Alfonso Caramazza, Michael McCloskey, Brian Butterworth y Xavier Seron ampliaron mucho mi comprensión de esta disciplina. Xavier Jeannin y Michel Dutat, por último, me asistieron para programar mis experimentos.

Para esta segunda edición, muchos colaboradores adicionales, en Francia y en el extranjero, me ayudaron a progresar en mi investigación: Hillary Barth, Eliza Block, Jessica Cantlon, Laurent Cohen, Jean-Pierre Changeux, Evelyn Eger, Lisa Feigenson, Guillaume Flandin, Tony Greenwald, Marc Hauser, Antoinette Jobert, Ferath Kherif, Andrea Patalano, Lucie Hertz-Pannier, Karen Kopera-Frye, Denis Le Bihan, Stéphane Lehéricy, Jean-Francois Mangin, José Frederico Marques, Jean-Baptiste Poline, Denis Rivière, Jérôme Sackur, Elizabeth Spelke, Ann Streissguth, Bernard Thirion, Pierre-François van de Moortele y Marco Zorzi. También estoy muy agradecido a todos los colegas que, a lo largo de los años y a través de los océanos, por medio de discusiones incansables, me ayudaron a pulir mis pensamientos y corregir mis errores. Es imposible hacer una lista exhaustiva, pero mis pensamientos van en primer lugar y principalmente a Elizabeth Brannon, Wim Fias, Randy Gallistel, Rochel Gelman, Usha Goswami, Nancy Kanwisher, Andreas Nieder, Michael Posner, Bruce McCandliss, Sally y Bennett Shaywitz y Herb Terrace.

Mi investigación sobre la cognición numérica recibió un gran impulso cuando obtuve el subsidio Centennial Fellowship de la Fundación McDonnell, de diez años de extensión, que tuvo un papel esencial en mi carrera. También fue financiada por el INSERM (Instituto Francés para la Investigación Médica y de la Salud), la CEA (Comisión de Energía Atómica), el Collège de France, la Universidad París XI, las fundaciones Fyssen, Bettencourt-Schueller, Volkswagen, Louis D. del Institut de France y la Fundación Francesa para la Investigación Médica. La preparación de este libro se benefició enormemente con el escrutinio cuidadoso de Brian Butterworth, Robbie Cade, Markus Giaquinto y Susana Franck para la edición inglesa, y de Jean-Pierre Changeux, Laurent Cohen, Ghislaine Dehaene-Lambertz y Gérard Jorland para la edición francesa. Un cálido agradecimiento también a Joan Bossert y Abby Gross, mis editores de Oxford University Press, John Brockman, mi agente, y Odile Jacob, mi editora francesa. Su confianza y su apoyo fueron muy valiosos.

Asimismo me gustaría agradecerles a las editoriales y los autores que amablemente me permitieron reproducir las figuras y las citas utilizadas en este libro. Vaya un agradecimiento especial a Gianfranco Denes por señalarme el notable tramo de La lección de Ionesco que se cita en el capítulo 7.

Por último, pero no por eso menos importante, la palabra “gracias” no es suficiente para expresar mis sentimientos por mi familia, Ghislaine, Olivier, David y Guillaume, quienes me apoyaron con paciencia durante los largos meses transcurridos en plan de exploración y escritura acerca del universo de los números. Este libro está dedicado a ellos.

S. D.

Piriac, Francia,

agosto de 1996