Primera edición.
Editorial Tecnológica de Costa Rica, 1995.
Segunda edición.
Editorial Tecnológica de Costa Rica, 2010.
519.5
M938p2 Moya Navarro, Marcos
Probabilidad y estadística: un enfoque teórico y práctico /
Marcos Moya Navarro, Natalia Robles Obando. -- 2a. ed. -- Cartago,
Costa Rica: Editorial Tecnológica de Costa Rica, 2010.
332 páginas.
ISBN 978-9977-66-226-8.
1. Estadística descriptiva 2. Teoría de conjuntos I. Robles, Natalia
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A partir de nuestras experiencias como académicos universitarios hemos llegado a la conclusión de que en los estudiantes de ingeniería existe gran necesidad de contar con un texto de Probabilidad y Estadística que aborde estos temas desde una perspectiva teórica y práctica, de una manera sencilla y con abundantes ejercicios resueltos y propuestos. Por esta razón, presentamos esta segunda edición del texto Probabilidad y estadística: un enfoque teórico y práctico, que les sirva a los estudiantes para introducirse en otros temas más profundos y complejos que surgen de distintas aplicaciones a la ingeniería. Esta obra pretende ser un aporte a la satisfacción de dicha necesidad.
El material que aquí se presenta se caracteriza por estar orientado especialmente a los problemas comunes de la ingeniería en producción industrial e ingeniería industrial. Su desarrollo es de complejidad creciente, iniciando por conceptos y definiciones básicas para la estadística y las probabilidades.
En esta segunda edición se incluyó un primer capítulo totalmente nuevo, centrado en la estadística descriptiva, en donde se abordan los temas de distribuciones de frecuencia y medidas de tendencia central y de dispersión, pues consideramos que esta es la base fundamental para el abordaje de otros temas de ingeniería que los estudiantes cubren a lo largo de sus estudios. Los capítulos del 2 al 4 cubren los conceptos clásicos de la probabilidad matemática y sus propiedades. Los capítulos 5 y 6 abordan el concepto de probabilidad estadística y las consecuencias que se derivan del concepto de probabilidad. Los capítulos 7 y 8 desarrollan el concepto de la probabilidad condicional, sus propiedades e introducen al estudiante en el concepto de independencia de sucesos.
El capítulo 9 estudia las distribuciones discretas de uso más frecuente, así como dos de las distribuciones continuas de uso común, como lo son la distribución exponencial y la distribución normal. Los capítulos 10 y 11 son totalmente nuevos en el texto y abordan los temas de estimación de parámetros puntual y por intervalo, así como los conceptos de pruebas de hipótesis, tanto para la media como para la varianza y la proporción.
Todos los temas tratados se ilustran ampliamente con abundantes ejercicios resueltos y con problemas propuestos para que el estudiante los desarrolle y refuerce así el aprendizaje.
Esperamos que esta obra logre su cometido y ayude a divulgar, en una forma sencilla y comprensible, los fundamentos de la estadística y la teoría de probabilidades, gracias a la cual se han podido estudiar sistemas en los que todas o una gran mayoría de las variables que intervienen se encuentran bajo consideraciones de incertidumbre y riesgo. De ahí que se justifique su estudio con empeño y dedicación.
Marcos Moya Navarro
Natalia Robles Obando
Estadística descriptiva
La estadística descriptiva es la base fundamental para entender los conceptos de la teoría de la probabilidad y los procesos de inferencia estadística. El nacimiento de la estadística descriptiva inicia con la necesidad de los países de obtener información acerca de sus ciudadanos. Un ejemplo de este hecho se puede observar en el nuevo testamento de la Sagrada Escritura, cuando María y José tienen que ir a Belén para el censo que había ordenado el emperador de ese tiempo.
Por un lado, se define la estadística descriptiva como el conjunto de métodos estadísticos necesarios para la recopilación, presentación y caracterización apropiada de un conjunto de datos.
Por otro lado, se define la inferencia estadística como el proceso de caracterizar una población de datos a partir de la caracterización de una muestra de esa población de datos mediante metodología estadística conocida como métodos de muestreo.
Además, se define una población de datos como la totalidad de los elementos de una característica en particular que se considera en el estudio. Consecuentemente, si el estudio incluye varias características o variables, puede tener varias poblaciones asociadas, es decir, una población asociada a cada una de las características o variables del conjunto de datos. Al conjunto generador de poblaciones se le llamará universo. Por ejemplo, si el universo es la totalidad de los estudiantes de la Escuela de Ingeniería en Producción Industrial del Instituto Tecnológico de Costa Rica, y se consideran el peso, la estatura y el tipo de sangre tres características de interés, entonces existen tres poblaciones asociadas a este universo, una por cada característica de estudio.
Por su tamaño una población puede ser finita o infinita. Cuando una población es muy grande, y por lo tanto difícil de muestrear en su totalidad, se dice que es una población infinitamente medible. Ejemplo de poblaciones infinitamente medibles es el conjunto de los glóbulos rojos del cuerpo humano y el número de granos de arena del desierto del Sahara.
Se define una muestra como una parte de la población. La muestra seleccionada de la población debe ser representativa de esta para que el proceso de inferencia estadística sea confiable. El conjunto de métodos estadísticos para hacer esta selección se conoce como métodos de muestreo.
Un parámetro se define como una medida de una característica de la población que se calcula para describir a la población completa.
Un estadístico se define como una medida de una característica de la población que se calcula a partir de los datos de una muestra.
Existen básicamente dos tipos de variables aleatorias que producen dos categorías de datos: datos cualitativos y datos cuantitativos. Se define una variable aleatoria como una variable en la cual no se puede predecir con exactitud el valor que tomará esta variable antes de que ocurra. Un ejemplo típico de una variable aleatoria es el número que saldrá favorecido con el premio mayor en el juego de la lotería del próximo domingo.
Las variables aleatorias cualitativas producen respuestas categóricas, mientras que las variables aleatorias cuantitativas producen respuestas numéricas. Las variables aleatorias cuantitativas se clasifican en variables continuas y variables discretas. Las variables aleatorias discretas surgen de procesos de conteo; las variables aleatorias continuas surgen de procesos de medición. Una variable aleatoria se define como continua si se toma un intervalo de valores de la variable, tan cercanos como se quiera, y aun así existe un valor intermedio de ese intervalo que la variable aleatoria puede tomar.
Se definen cuatro escalas de medición reconocidas para las variables aleatorias: escala nominal, escala ordinal, escala de intervalo y escala de razones.
La escala nominal es la más débil de las cuatro. En esta no se puede intentar medir las diferencias dentro de una categoría o bien determinar quién posee más la propiedad que se está midiendo. Tampoco se puede especificar un orden o dirección de las categorías.
La escala ordinal es más fuerte de medición que la nominal, porque se establece que un valor observado de la variable aleatoria en una categoría posee más o posee menos la propiedad que se está midiendo que algún valor observado que se clasifica en otra categoría. Sin embargo, al igual que en la escala nominal, no se intentan medir las diferencias dentro de una categoría determinada.
La escala por intervalo es una escala ordenada en la cual se hace diferencia entre las mediciones en una cantidad significativa. Si además de que las diferencias son significativas e iguales en todos los puntos de la escala existe un cero real que permita considerar cocientes de mediciones, entonces se trata de una escala de razones.
Imagínese una situación en la que un médico investigador está estudiando la efectividad de una nueva droga que ha sido administrada a un grupo de pacientes para curar una cierta enfermedad.
Obtener información relacionada con este fenómeno investigado requiere que se realice un proceso o experimento en la vida real, en el que se le administre la droga al paciente y se estudie su comportamiento. Este tipo de experimentos se conoce como experimentos físicos reales.
Otros tipos de experimentos como los relacionados con los juegos de azar, muy estudiados antiguamente, ya que fueron la base del desarrollo de la teoría de la probabilidad moderna, se consideran de tipo conceptual, debido a que son experimentos imaginarios.
Cada uno, ya sea real o de tipo conceptual, conduce a un resultado, el cual puede expresarse con uno o más números reales.
Con estos antecedentes, se produce la siguiente definición:
Definición N°. 1. Experimento aleatorio
Se define un experimento aleatorio, y se denotará por “E” a un procedimiento que cumple con las siguientes condiciones:
Ejemplos de experimentos aleatorios.
Ejemplo N°. 1
Cuando se lanza una moneda de 100 colones, pueden ocurrir dos resultados posibles: que salga escudo o corona. Tomando en cuenta que el lanzamiento de la moneda puede repetirse indefinidamente siempre bajo las mismas condiciones, entonces se da un proceso que puede catalogarse como experimento aleatorio.
Ejemplo N°. 2
En la fabricación de disyuntores eléctricos, se someten a pruebas de sobrecarga eléctrica todos los disyuntores fabricados, para garantizar que estos funcionen durante una eventual sobrecarga. En cada prueba se genera uno de dos posibles resultados: disyuntor bueno o defectuoso.
Si se piensa que este proceso se repite indefinidamente, estamos ante la presencia de un experimento aleatorio.
Si se representa con un uno (1) al resultado de bueno, y con un cero (0) al resultado de defectuoso, entonces si en diez pruebas se obtuvieron los siguientes resultados: 1,0,1,1,1,0,1,1,1,1, se puede concluir que el 80% de los disyuntores del lote de diez está bueno, y solo un 20% está defectuoso.
A partir de la definición de experimento aleatorio se deduce que la realización de cualquier experimento necesariamente conduce a la obtención de un resultado. Por tanto, se hace necesario definir el término espacio muestra.
Definición N°. 2. Espacio muestra de un experimento aleatorio
Se define como espacio muestra de un experimento aleatorio, y se denotará por "U” a la colección de todos los posibles resultados asociados con ese experimento.
Para construir un espacio muestra de un experimento aleatorio de deben seguir dos pasos:
Paso N°. 1
Debe haber un proceso de abstracción, en donde no se toman en cuenta los detalles de los individuos que están siendo estudiados en el experimento.
Por ejemplo, si se va a seleccionar mediante una rifa a un estudiante, para que asista a un seminario, se puede asignar un número a cada uno de los estudiantes participantes y luego extraer un número de entre los asignados. Haciéndolo de esta forma, no se está tomando en cuenta si el estudiante es blanco o de color, si viste bien o mal, si es rico o pobre...
Paso N°. 2
Debe de haber una regla de elección en donde se introduzca la arbitrariedad o casualidad.
En el ejemplo expuesto en el paso N°. 1, este elemento de arbitrariedad se presenta al hacer la rifa.
Cada uno de los resultados que conforman el espacio muestra U recibe el nombre de elemento o punto de U. Por lo tanto, si el número de elementos o puntos que componen el espacio muestra es finito, es decir, se pueden contar, entonces se dice que el espacio muestra, por su tamaño, es finito. Si estos elementos no se pueden contar porque el número de puntos es infinito, entonces se dice que el espacio muestra es de tamaño infinito.
A continuación se presentan tres ejemplos de los espacios muestra que se producen al realizar un determinado experimento aleatorio.
Ejemplo N°. 1 Lanzar una moneda de 500 colones.
Experimento: Cuando se lanza una moneda costarricense de cualquier denominación, solo es posible obtener cualquiera de dos resultados, escudo o corona. Esto porque las monedas tienen únicamente dos caras.
Por lo tanto, el espacio muestra asociado con este experimento es el siguiente:
Espacio muestra: U = {escudo, corona}
Ejemplo N°. 2 Se lanzan dos monedas: una de 5 colones y otra de 10 colones.
Experimento: para determinar el espacio muestra de este ejemplo, se procederá a construir un árbol que ayudará a identificar los posibles resultados asociados con este experimento. Dicho árbol recibe el nombre de Árbol de probabilidades y se muestra en la figura N°. 1.
La interpretación de este árbol de probabilidad es la siguiente:
Cuando se lanza la moneda de ¢5 colones, se puede obtener cualquiera de dos los posibles resultados: escudo o corona.
En el lanzamiento de la moneda de ¢10 colones ocurre que, independientemente del resultado que se obtuvo al lanzar la primera moneda de ¢5 colones, en la moneda de ¢10 se puede obtener escudo o corona, pues el lanzamiento de la moneda de ¢10 en nada está influido por el lanzamiento de la moneda de ¢5 colones.
Por lo tanto, el espacio muestra obtenido para este experimento aleatorio es el siguiente:
Espacio muestra: U = {(escudo, escudo), (escudo, corona),
(corona, escudo), (corona, corona)}
Obsérvese en este caso que cada uno de los puntos del espacio muestra está compuesto por la reunión de dos elementos que componen el espacio muestra del experimento del ejemplo N°. 1, que consistió en lanzar una moneda y determinar si cae escudo o corona.
Por lo tanto, el espacio muestra del ejemplo N°. 2 se puede modificar de la siguiente forma:
Espacio muestra: U = { (X1 X2) : X1 ∈ A y X2 ∈ A) } en donde:
A = { escudo,corona }
Ejemplo N°. 3 Un estudiante tiene en su bolsillo:
Experimento: el estudiante toma sucesivamente dos billetes, primero uno y después otro.
A continuación se presenta el espacio muestra que se obtiene para este ejemplo. El número 1000 indica que el billete extraído fue el de 01 000. Similarmente ocurre con el número 2 000, 5 000 y 10 000.
Espacio muestra:
De la misma manera como se hizo en el ejemplo N°. 2, el espacio muestra del ejemplo N°. 3 se puede modificar de la siguiente forma:
Espacio muestra: U = { ( X1 ,X2 ) : X1 ∈ B y X2 ∈ B } en donde:
B = {1 000, 2 000, 5 000, 10 000}
Una definición más rigurosa asociada con el espacio muestra es la siguiente:
Se define como espacio muestra de un experimento aleatorio, real o conceptual, como una colección de resultados que cumple con las siguientes propiedades:
De acuerdo con esta definición, las siguientes colecciones de resultados no representan un espacio muestra de los experimentos aleatorios que se indican a continuación:
1. Experimento: Lanzamiento de un dado
A = {1,2,3,4,5,6,7}
La colección A no representa un espacio muestra, por cuanto el elemento “7” no cumple con la condición de ser un resultado del experimento, ya que el dado solo tiene seis caras.
2. Experimento: Número de coronas obtenidas en el lanzamiento de cuatro monedas
B = {Cero coronas, una corona, dos coronas}
La colección B no representa un espacio muestra, pues no se cumple con la condición N°.2 de la definición de espacio muestra. Por tanto, en este experimento puede ocurrir que también salgan tres o cuatro coronas en el lanzamiento de las cuatro monedas.
3. Experimento: Suma que se obtiene al lanzar dos dados legales. Es decir, dos dados no cargados.
C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13}
La colección C no representa un espacio muestra, por cuanto no cumple con la condición N°.1, ni con la condición N°. 2, de la definición de espacio muestra. Observe que los números 1 y 13 no son un resultado que se pueda obtener en la ejecución de este experimento, y tampoco están incluidos los resultados 10 y 11.
Cuando se realiza un experimento, al analista no siempre le interesa estudiar todos los resultados individuales posibles que se pueden producir con la ejecución de esa prueba. Generalmente, interesan aquellos resultados que cumplen con ciertas características de interés que el analista esté estudiando.
El grupo de resultados que cumplen con la característica de interés que se esté estudiando forma un evento.
Con estos antecedentes se concluye que un evento “E” está asociado con el espacio muestra “U” del experimento en estudio, considerando el espacio muestra como una colección de resultados universal, es decir, como una colección que contiene todos los resultados posibles que se obtienen de la ejecución del experimento.
Dado que al analista le interesan solo algunos resultados que tienen ciertas características de interés, un evento “E” lo compone un grupo de resultados que forman parte del espacio muestra. Por lo tanto, un evento es sencillamente una parte del espacio muestra. Una definición de evento es la siguiente:
Definición N°. 3. Evento
Se dice que un conjunto de resultados forma un evento “A” si este cumple con alguna característica de interés, y además es una parte del espacio muestra. Para entender mejor esta definición, considérese el siguiente experimento aleatorio:
Experimento N°. 1: Determinar el valor de la suma que se obtiene en una tirada de dos dados legales{1}.
Considerando que cada dado tiene seis caras, enumeradas del 1 al 6, el espacio muestra se puede obtener a partir de la figura N°. 2. Cada uno de los números que aparece en negrita en esta figura representa la suma que se obtiene al lanzarse los dos dados, si la cara del dado que cae hacia arriba muestra los puntos del 1 al 6.
Entonces, a partir de la figura N°. 2 se determina que el espacio muestra que se obtiene para este experimento en cuestión está dado por:
Espacio muestra:
Este espacio muestra puede comprimirse de la siguiente manera:
Espacio muestra: U = { ( X1, X2 ) : X1 ∈ D1 y X2 ∈ D2 },
En donde:
D1 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
D2 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
D1 y D2 representan los resultados que se obtienen al lanzar los dados N°. 1 y N°. 2, respectivamente.
Algunos ejemplos de eventos asociados a este experimento son:
Ejemplo N°. 1
Evento A: La suma que se obtiene en el lanzamiento de los dos dados es seis.
De la figura N°. 2 se observa que los elementos o puntos del espacio muestra que conforman este evento son los que aparecen marcados dentro de un rectángulo, y son los siguientes:
A = {(5,1), (4,2), (3,3), (2,4), (1,5)}
Note que todos los resultados obtenidos para este evento también están contenidos en el espacio muestra U del experimento, y por tanto son una parte de él.
Ejemplo N°. 2
Evento B: El valor que se obtiene al sumar las caras que caen hacia arriba en el lanzamiento de los dos dados es un número par.
La figura N°.2 indica que los elementos del espacio muestra que conforman este evento son los siguientes:
B = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (5, 1), (5, 3), (5, 5), (6, 2), (6, 4), (6, 6)}
Ejemplo N°. 3
Evento C: El valor de la suma que se obtiene en el lanzamiento de los dos dados es divisible por tres.
Los únicos valores de la suma, cuyo dominio está entre 2 y 12, que son divisibles por 3 son: 3, 6, 9 y 12.
La figura N°. 2 indica que los elementos del espacio muestra, cuya suma da 3, 6, 9 y 12, y que a su vez conforman el conjunto de resultados del evento C, son:
C = {(1, 2), (1, 5), (2, 1), (2, 4), (3, 3), (3, 6), (4, 2), (4, 5), (5, 1), (5, 4), (6, 3), (6, 6)}
Experimento N°.2: Una caja contiene un lote de siete tornillos distinguibles, enumerados del 1 al 7, de los cuales dos tienen problemas en su diámetro, por lo que están defectuosos; supóngase que son los tornillos enumerados del 6 al 7.
El experimento consiste en extraer dos tornillos del lote de siete y determinar cuántos están defectuosos. El espacio muestra que se obtiene es:
Espacio muestra:
Los siguientes son algunos ejemplos de eventos asociados a este experimento.
Ejemplo N°. 1
Evento A: Ninguno de los tornillos extraídos está defectuoso.
Los elementos del espacio muestra asociados con este evento son todos aquellos en los cuales no aparezca el tornillo seis ni el tornillo siete, que están defectuosos. En consecuencia:
A = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5),(3, 4), (3, 5), (4, 5)}
Ejemplo N°. 2
Evento B: Uno de los tornillos extraídos está defectuoso.
En este caso, los elementos que componen este evento son todos aquellos en los cuales aparezca solo un tornillo defectuoso. Este puede ser el N°. 6 o el N°. 7. Veamos:
B = {(1, 6), (1, 7), (2, 6), (2, 7), (3, 6), (3, 7), (4, 6), (4, 7), (5, 6), (5, 7)}
Ejemplo N°. 3
Evento C: Los dos tornillos extraídos están defectuosos.
Este evento solo tiene asociado un elemento o punto del espacio muestra, según se indica en la siguiente colección de resultados:
C = {6 , 7}
Este tipo de eventos que están compuestos únicamente por un elemento del espacio muestra recibe el nombre de sucesos elementales.
Cuando un evento no contiene elementos, recibe el nombre de evento vacío o imposible, y se representa por el símbolo ∅.
Ejercicios resueltos
a. Describir un espacio muestra asociado con cada uno de los siguientes experimentos.
Solución
b. U = {(EE), (EC), (CE), (CC)}
c. U = {2, 4, 6, 8, 10, 12}
d. U ={(5000, 10 000), (5000, 20 000), (5000, 50 000), (10 000, 5000),
(10 000, 20 000), (10 000, 50 000), (20 000, 5000),
(5 000, 1 000), (5000, 10 000), (10 000, 5000),
(50 000, 10 000), (50 000, 20 000)}
d. Denótese por 1, 2, 3, 4, 5 y 6 a cada uno de los seis candidatos al Consejo de investigación de la universidad. Por lo tanto, el espacio muestra U es el siguiente:
2. Un experimento consiste en arrojar un dado legal. Determine si los siguientes conjuntos se pueden considerar espacios muestra apropiados al experimento.
S = {Número impar , 2, 4, 6}
S = {1, 2, 3, Número par}
S = {Número menor o igual que 3, 4, 5, 6}
S = {Número divisible por 2, 1, 3, 5}
S = {2, 4, 6, Número mayor o igual que 4}
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Solución
Ejercicios propuestos
3. Suponga que en la soda del TEC hay tres (3) funcionarias que se encargan de preparar los alimentos que consumen los funcionarios y estudiantes en el periodo de almuerzo y cena, y seis (6) funcionarios que se encargan de limpiar las mesas y llevar los utensilios usados a las máquinas lavadoras. Suponga también que la administración del TEC establece que para el periodo de almuerzo están trabajando dos funcionarias en la preparación de los alimentos y tres funcionarios limpiando las mesas y llevando utensilios al lavado. Se pide describir un espacio muestra apropiado para esta situación.
4. En un puesto de control se inspeccionan televisores y se clasifican como B: Funcionando bien, o M: Funcionando mal. Construir el espacio muestra que se genera si se inspeccionan cuatro (4) televisores.
5. El señor M.B es un agente de ventas de llantas para automóviles y maquinaria pesada, y todas las semanas visita la zona atlántica para convencer a sus clientes de que compren sus llantas. Construya el espacio muestra que se genera si en uno de sus viajes visita a tres clientes.
6. En un proceso de producción de envases de vidrio se van a inspeccionar cinco lotes de producción. Cada lote se acepta o se rechaza. Para cada uno de los siguientes eventos, construir el conjunto de puntos del espacio muestra que lo componen.
j. E1 U E6
Se comprenderá más fácilmente el concepto de variable aleatoria con los siguientes dos ejemplos.
Ejemplo N°. 1
Imagínese el juego de la lotería nacional que auspicia la Junta de Protección Social de San José. Cada billete de lotería se compone de un número y una serie. Antes de cada sorteo, se sabe con seguridad que el número premiado estará comprendido entre el doble cero (00) y el noventa y nueve (99). Lo que no se puede predecir con certeza antes del sorteo es cuál de esos números entre 00 y 99 será el que tenga el premio mayor de la lotería. Por lo tanto, el número del premio mayor de la lotería depende de la casualidad, es decir, del azar.
Ejemplo N°. 2
Considérese el experimento que consiste en extraer tres duchas eléctricas para baño, de un lote de 50 duchas, y determinar cuántas están defectuosas, si sabe que en el lote hay 10 de ellas que lo están.
En este experimento se sabe que el número mínimo de duchas defectuosas que puede ocurrir es cero (0) si las tres duchas extraídas están buenas, y el máximo es tres (3) si todas están defectuosas. Lo que no se puede predecir con certeza antes de la extracción es cuántas de las duchas extraídas estarán defectuosas. Por lo tanto, se dice que el evento:
E: número de duchas defectuosas obtenidas en la extracción de tres duchas de un lote de 50 de ellas
Depende del azar o de la casualidad, y la variable "número de duchas defectuosas" es aleatoria. Los resultados posibles que se pueden obtener con este experimento del ejemplo N°. 2 se muestran en la figura N°.3.
Figura N°. 3. Espacio muestra que se genera al extraer tres duchas de un lote de 50.
Al espacio muestra U descrito en la figura N°. 3 está asociado un conjunto de números reales R, donde R representa el número de duchas defectuosas obtenidas en la extracción al azar de duchas, tal y como se muestra en la figura N°. 4.
Esta figura indica que al extraer las tres duchas del lote de las 50 que existen, puede ocurrir cualquiera de las siguientes situaciones:
Por lo tanto, se puede definir una variable aleatoria como sigue: