© Universidad Nacional de Colombia
© Vicerrectoría de Investigación
© Editorial Universidad Nacional de Colombia
© Sigifredo De Jesús Herrón Osorio
Primera edición, 2014
ISBN : 978-958-761-761-0 (papel)
ISBN : 978-958-761-763-4 (IPD)
ISBN : 978-958-761-762-7 (digital)
Diseño de la Colección Obra Selecta
Marco Aurelio Cárdenas
Edición
Editorial Universidad Nacional de Colombia
direditorial@unal.edu.co
www.editorial.unal.edu.co
Bogotá, D. C., Colombia, 2014
Prohibida la reproducción total o parcial
por cualquier medio sin la autorización escrita
del titular de los derechos patrimoniales
________________________________________________________
Catalogación en la publicación Universidad Nacional de Colombia
Herrón Osorio, Sigifredo De Jésus, 1965-
Tópicos previos a la matemática superior / Sigifredo Herrón Osorio. -- Bogotá : Universidad Nacional de Colombia. Vicerrectoría de Investigación, 2014.
234 páginas : ilustraciones. - (Colección Obra Selecta)
Incluye referencias bibliográficas
ISBN : 978-958-761-761-0 (papel) - ISBN : 978-958-761-763-4 (IPD) -- ISBN : 978-958-761-762-7 (digital)
1. Matemáticas 2. Sistema binario (Matemáticas) 3. Teoría de conjuntos 4. Teoría de los números 5. Análisis matemático 6. Topología I. Título II. Serie
CDD-21 510 / 2014
Gracias te damos, oh Dios, gracias te damos,
Pues cercano está tu nombre;
Los hombres cuentan tus maravillas.
Salmo 75:1
N Conjunto de los números naturales
(AP1) Primer axioma de Peano
(AP2) Segundo axioma de Peano
(AP3) Tercer axioma de Peano
(AP4) Cuarto axioma de Peano
(AP5) Quinto axioma de Peano
PBO Principio del buen orden
[a] Clase de equivalencia de a
Z Conjunto de los números enteros
N∗ Conjunto de los números naturales
a|b El entero a ≠ 0 divide al entero b
(SA) Asociatividad de la suma
(SN) Existencia de neutro para la suma
(SI) Existencia de inversos para la suma
(SC) Conmutatividad de la suma
(PA) Asociatividad del producto
(PN) Existencia de neutro para el producto
(PC) Conmutatividad del producto
(D) Distributiva de la suma respecto al producto
−A Conjunto de opuestos de A
A + B Conjunto de todas las sumas posibles de elementos de A y de B
AB Conjunto de todos los productos posibles de elementos de A y de B
cA Conjunto de todos los elementos de la forma cA
Conjunto de los números racionales
Conjunto de racionales positivos
Conjunto de las sucesiones de Cauchy de números racionales
Conjunto de las sucesiones de racionales que son nulas
Conjunto de los números reales
Conjunto de los números reales
Conjunto de los números reales negativos
Parte entera del real x
Parte fraccionaria del real x
Conjunto de los números irracionales
Conjunto de puntos de acumulación del conjunto A
Complemento del conjunto A
Clausura del conjunto A 153
Frontera del conjunto A
Conjunto de los números complejos
Argumento principal de z
Variaciones de n objetos tomados de a r
Combinaciones de n objetos tomados de a r
Los conjuntos A y B son equipotentes
Segmento inicial de números naturales
Cardinal del conjunto A
Función f restringida al conjunto A
Conjunto de polinomios con coeficientes en el campo 
Grado del polinomio p
El presente texto fue motivado principalmente por la ausencia de un libro en el mercado, de fácil acceso para el estudiante, que reuniera los contenidos que se proponen aquí y que constituyen el programa oficial de la asignatura Sistemas Numéricos, previa al curso de Análisis Real, que se les ofrece a los estudiantes no solo de la carrera de Matemáticas, sino también de otras carreras de la Universidad Nacional de Colombia. Es consecuencia de unas notas de clase que resultaron de dictar el curso durante varios semestres, antes y después de la reforma académica que se implantó en nuestra universidad.
El texto se expone, cuando la temática lo hace posible, en términos sencillos para beneficio del estudiante, pero sin sacrificar el rigor correspondiente. Es oportuno mencionar que esta asignatura involucra conceptos teóricos no triviales los cuales, para ser asimilados, necesitan fuerza de voluntad y estudio continuo. Es altamente recomendable resolver los ejercicios y dedicarle tiempo a estudiar las pruebas, aunque esto último vaya en contra de lo deseado por el estudiante en el sentido de entender sin mucho esfuerzo lo que se presenta en un libro de matemáticas.
Una de las partes centrales de este texto es la construcción del conjunto de los números reales y el estudio de algunos temas en este conjunto. Para ello iniciamos con los números naturales, vía los axiomas de Peano. Luego se construye el conjunto de los números enteros, que será usado para construir los racionales y estos a su vez para la construcción de los números reales vía sucesiones de Cauchy. Finalmente, presentamos los números complejos. Como lectura complementaria se presenta un apéndice, el cual reúne algunos temas de carácter opcional que pueden brindar claridad en un momento dado a las necesidades del lector.
Necesitamos contar con algunos elementos que seguramente el lector ya conoce. Uno de los primeros, consiste en aceptar la existencia de una relación llamada la igualdad, que es reflexiva, simétrica y transitiva. Las nociones de clase de equivalencia, conjunto cociente, función, teoría básica de conjuntos y los métodos estándares de prueba también serán elementos primarios que deben ser conocidos por el lector. En el capítulo de los números complejos supondremos conocidos, por razones de tiempo, algunos hechos básicos de trigonometría y la noción de vector. Por último, un axioma muy importante, no solo en la teoría de conjuntos, es el de elección. Hay varias versiones, todas equivalentes, pero una versión sencilla es como sigue:
Si {Ai : i ∈ I} es una familia no vacía de conjuntos no vacíos, entonces existe un conjunto E que contiene uno y solo un elemento de cada Ai.
Los ejercicios se van dejando en el punto apropiado para que el estudiante con los elementos mínimos expuestos hasta ese momento pueda desarrollarlos. Sin embargo, al final de cada capítulo o sección podemos proponer más.
Es importante mencionar que hay poco original en este libro, pues el contenido aquí detallado es de conocimiento universal en la literatura, no solo de la misma clase a la que este libro pertenece sino a muchos otros. Algunas pruebas y el toque personal pedagógico para beneficio de los estudiantes, son los aportes significativos. Aunque las referencias presentadas no son necesariamente las fuentes originales, la ausencia de alguna referencia para ciertos temas específicos no equivale a decir que lo expuesto sea de mi autoría.
Este libro no es exhaustivo, se pretende simplemente presentar lo básico que se ha diseñado como contenido de la asignatura Sistemas Numéricos. Más precisamente, uno de los objetivos de este libro es revisar y complementar los conjuntos numéricos desde los naturales hasta los complejos, involucrando su construcción y algunos temas estudiados en cada uno de ellos.
Las proposiciones, corolarios, lemas, teoremas, ejemplos, ejercicios y definiciones están numerados, pero no independientemente, con dos números separados por un punto: el primero hace alusión al capítulo y el segundo indica el orden correspondiente. Como ilustración, el lector hallará secuencias como Definición 3.4, Lema 3.5, Teorema 3.6, Ejercicio 3.7, etc.
Es frecuente la idea de que los estudiantes deben tener contacto con la investigación al final de sus estudios. En lo personal me distancio de esa postura, y es por ello que en algunos capítulos se plantean miniproyectos sobre temas que, aunque importantes, son de fácil asimilación para él y tienen la intención de sembrar en el estudiante espíritu investigativo desde los inicios de su carrera.
El texto fue escrito usando 
; y con el símbolo 
indicaremos la terminación de una demostración.
Especial agradecimiento a los profesores Margarita Toro Villegas, Jorge Mejía Laverde y Fernando Puerta Ortiz, colegas de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín, por sus valiosos aportes para una mejor redacción final de este texto. Al estudiante de la Maestría en Matemáticas, Aníbal Fernando Álvarez Pérez, por su colaboración en el manuscrito de una pequeña parte de este libro. Mi agradecimiento también va para los evaluadores (anónimos) de este proyecto, quienes realizaron una lectura cuidadosa del manuscrito propuesto y detectaron algunos detalles que se corrigieron y mejoraron la versión definitiva del texto. Finalmente, agradezco a los lectores cualquier comentario, sugerencia o corrección a un eventual error involuntario. Pueden dirigir sus mensajes a sherron@unal.edu.co
Sigifredo De Jesús Herrón Osorio
Diciembre de 2013
Operaciones binarias
En este primer capítulo presentamos algunos elementos básicos que serán de uso rutinario en algunos capítulos posteriores. El presente capítulo concierne solamente a cierto tipo de funciones que en la práctica no se usan como tales y son llamadas operaciones binarias.
Dado un conjunto no vacío A y un par de elementos a y b en este conjunto, si existe alguna manera * de operar con ellos y que el único resultado obtenido sea un elemento del conjunto dado, entonces llamaremos a * una operación binaria en dicho conjunto. Es decir, para a*b ∈ A, se tiene que el resultado a * b € A. Esto no es más ni menos que una función de A × A en A. Formalizamos entonces esta noción en la definición siguiente:
Definición 1.1. Sea A un conjunto no vacío. Una función de la forma * : A × A→ A se llama una operación binaria en A.
Una operación binaria también se llama clausurativa o ley de composición interna.
Se acostumbra escribir la evaluación de * en el par (a,b) ∈ A × A como a * b en lugar de * (a, b).
Ejemplo 1.2. Fijemos un conjunto A y sea A = P(A), el conjunto potencia o partes de A. La unión entre conjuntos “∪” y la intersección entre conjuntos “∩ ” son operaciones binarias en P(A).
Ejemplo 1.3. Sean A = {a,b,c} y * : A × A → A definida por la siguiente tabla:
La función *, así definida, es una operación binaria en A.
Presentamos ahora algunas propiedades que pueden tener las operaciones binarias.
Definición 1.4. Sea * una operación binaria en A. Decimos que dicha operación es conmutativa si a * b = b * a para todo a,b ∈ A. Dicha operación se llama asociativa si a * (b * c) = (a * b) * c, para todo a, b, c ∈ A.
Por ejemplo, de lo que sabemos de la teoría de conjuntos, las operaciones binarias del Ejemplo 1.2 son conmutativas y asociativas. Un chequeo directo nos permite ver que la operación * del Ejemplo 1.3 es conmutativa. ¿Es dicha operación asociativa?
Definición 1.5. Sea * una operación binaria en A. Decimos que esta operación satisface la propiedad modulativa o que posee elemento neutro, si existe un elemento e ∈ A tal que e * a = a * e = a para todo a ∈ A.
En el Ejemplo 1.2 la operación binaria “∪” tiene al conjunto vacío como elemento neutro, ya que Ø ∈ P(A) = A y para todo X ∈ A se tiene que X ∪ Ø = Ø∪X = X. Mientras que la operación binaria “∩” tiene al conjunto fijo A como elemento neutro, ya que A ∈ P (A) = A y para todo X ∈ A se tiene que X ∩ A = A ∩ X = X. ¿Cuál es el elemento neutro en el Ejemplo 1.3?
Definición 1.6. Sea * una operación binaria en A con elemento neutro e ∈ A. Decimos que a ∈ A posee inverso lateral a izquierda si existe a′ ∈ A tal que a′ * a = e. Si existe a′′ ∈ A tal que a * a′′ = e decimos que a ∈ A posee inverso lateral a derecha. En caso de que los inversos laterales a izquierda y a derecha sean iguales, decimos que a′ es un inverso bilateral de a ∈ A. Si todo elemento de A tiene un inverso bilateral, decimos que la operación * es invertiva.
A manera de ilustración, notemos que, en el Ejemplo 1.2 la operación “∪”, el único elemento en A que tiene inverso es Ø y es el mismo puesto que Ø∪Ø = Ø. En el mismo ejemplo, con la operación “∩”, el único elemento que posee inverso es el conjunto fijo A y es el mismo, ya que A ∩ A = A.
En álgebra se acostumbra usar para el inverso bilateral a′ las siguientes notaciones: la aditiva, —a y la multiplicativa, a-1.
Definición 1.7. Una relación R y una operación * definidas en un conjunto A se dicen compatibles si para a, a′, b, b′ ∈ A se cumple:
Ejemplo 1.8. En el Ejemplo 1.2, la operación “∪” y la relación de igualdad, “ = ”, son compatibles puesto que si A = B y B′ = B′, entonces A ∪ A′ = B ∪ B′. También son compatibles la intersección “∩” y la igualdad “ = ”.
Con el ánimo de ir introduciendo al lector a cursos posteriores, en álgebra abstracta, concretamente en teoría de grupos, una cosa es el conjunto A y otra la operación binaria * definida en él. Pero juntos, el par (A,*) define una estructura algebraica llamada grupoide. Ahora bien, cuando en un grupoide la operación binaria es asociativa, este se llama semigrupo, y si además tiene elemento neutro y es invertiva, la estructura se llama grupo. Finalmente, el nombre de grupo abeliano o conmutativo se le asigna al grupo cuya operación binaria es conmutativa.
1. Sean X un conjunto fijo no vacío y A el conjunto de todas las funciones biyectivas de X en X. Para f, g ∈ A, considere la composición de funciones f o g. ¿Es esta una operación binaria en A? Si es así, ¿qué propiedades tiene esta operación? Responda las mismas preguntas en el caso de funciones en general.
2. Sea (A,*) un semigrupo con elemento neutro e. Pruebe que si a ∈ A tiene inverso bilateral entonces este es único.
3. Sean a,b y c tres elementos en un semigrupo (A, *), los cuales tienen inversos. Pruebe que a * (b * c) tiene inverso y este es
4. Sea * una operación conmutativa definida en un conjunto A. Muestre que una relación de equivalencia R en A es compatible con la operación * si y solo si
5. Sea (G,·) un grupo y sea a ∈ G un elemento fijo. Defina una nueva operación * en el conjunto G, así: x * y = x · a · y, para todo x,y ∈ G. Pruebe que (G,*) es un grupo isomorfo a (G,·). (Una función f : G → H entre dos grupos (G, *) y (H, ) se llama isomorfismo si f (a * b) = f (a) f (b) para todo a,b ∈ G y además f es biyectiva. En este caso, los grupos se llaman isomorfos).
6. Sea (G, *) un grupo tal que para todo par de elementos a y b se cumple que (a * b)-1 = a-1 * b-1 Demuestre que * es una operación binaria conmutativa.
7. Sean (G,) y (H, *) grupos. Si en G x H se define
pruebe que (G x H, #) es un grupo. Este grupo se llama el producto directo de (G, ) y (H, *).
8. Sean (G, *) un grupo y g ∈ G un elemento fijo. Si se define f : G → G por f (x) = g-1 * x * g, pruebe que f es un isomorfismo.
9. Sean (G, *) un grupo abeliano y f : G → G dada por f (x) = x-1. Pruebe que f es un isomorfismo.
10. Sea (G, *) un grupo y suponga que f : G → G definida por f (x) = x –1. es un homomorfismo. Pruebe que (G, *) es un grupo abeliano. (Un homomorfismo de un grupo (G, *) en otro grupo (K, ) es una función 
: G → K con la propiedad
para cada g1,g2 ∈G).
11. Sea (G,*) un grupo tal para todo a ∈ G se cumple que a * a = e, donde e es el elemento neutro. Demuestre que G es abeliano.
Los números naturales
Existen varias maneras de presentar los números naturales, por ejemplo, usando la teoría de conjuntos o conjuntos inductivos. La presentación que hacemos acá es vía los axiomas de Peano{1}. Estos postulados permiten derivar toda la aritmética de los números naturales. En la formulación de los axiomas de Peano se supone de antemano la existencia del conjunto 
.
Definición 2.1. El conjunto de los números naturales, denotado por , se caracteriza por los siguientes axiomas, llamados axiomas de Peano:
, llamado el cero.
existe un único n+ ∈ , llamado el sucesor de n.
, n+ 
0.
, son tales que m+= n+ entonces m = n.
es tal que (i) 0 ∈ S y (ii) n ∈ S 
n+ ∈ S entonces S = .
El primer axioma dice, en particular, que el conjunto N es no vacío. Combinándolo con (AP3) dice que N tiene un elemento, el cero, que no es sucesor de algún otro natural; así que el cero es el “primer” elemento. Los axiomas (AP2) y (AP4) dicen que cada natural tiene un único sucesor y que dos naturales distintos tienen sucesores distintos. Otra manera de entender el axioma (AP4) es la siguiente: si definimos la función S: 
por S(n) = n+, la función sucesor de n, entonces esta función es inyectiva. Finalmente, el axioma (AP5) es de mucha importancia, pues constituye una herramienta poderosa para probar muchas propiedades en el conjunto .
En términos simples, el conjunto de los números naturales consiste de un elemento distinguido (el cero) y la función sucesora de n que satisfacen los postulados de Peano. Muchos autores prefieren que el elemento distinguido sea el natural 1; matemáticamente, esto es irrelevante.
Finalmente, no presentaremos alusión profunda ante el asunto relacionado con la existencia y la unicidad de los números naturales. En la referencia [AE] se realiza una breve descripción sobre el particular y en [B] se hace una presentación más completa.
Una primera propiedad que demostramos es que, exceptuando el cero, cada natural es un sucesor. En la prueba ilustramos el poder del quinto axioma de Peano.
Proposición 2.2. Todo número natural diferente de cero es un sucesor.
Demostración. Usamos el quinto axioma definiendo un conjunto de naturales que reúna los elementos que tienen la propiedad deseada y luego demostramos que tal conjunto es, en este caso, 
Sea S: 
la función sucesora dada por S(k) = k+ y definamos el conjunto
Probemos que S = , lo cual prueba la proposición. Notemos que en la definición del conjunto S agregamos el conjunto singular {0} por razones técnicas, es decir, para poder aplicar la condición (i) del axioma (AP5); pero no estamos afirmando ni probando que 0 satisface la propiedad enunciada en la proposición. Vamos a los detalles de la demostración.
Por definición de S, el natural 0 ∈ S. Luego, se cumple (i) del axioma (AP5).
Supongamos ahora que n ∈ S y veamos que n+∈ S. En efecto, como n ∈ S entonces existe k ∈ tal que n = k+. Luego,
lo cual implica que n+ ∈ S. Queda así probada la condición (ii) del quinto axioma de Peano. Luego, tenemos que 
Se desprende del Axioma (AP4) y la proposición previa que la función sucesor de n, S : 
, es biyectiva.
A continuación vamos a ocuparnos de introducir las operaciones suma y multiplicación en los números naturales.
Definición 2.3. En el conjunto de los números naturales, , definimos la suma “ + ” de la siguiente manera:
Reiteramos que las propiedades de la suma y el producto definidas en el conjunto serán demostradas usando el quinto axioma de Peano, esto es, el principio de inducción.
Teorema 2.4. La suma de dos números naturales es otro número natural, es decir, “ + ” es una operación binaria en .
Demostración. Sea 
. Como hemos venido comentando, la idea es usar el axioma (AP5) para demostrar que 
, lo que prueba el teorema. Por la definición de suma tenemos que 0 ∈ S. Veamos que si n ∈ S entonces n+ ∈ S. Sea m ∈ . Por la hipótesis de inducción, m + n ∈ para todo natural m y así por el axioma (AP2), el sucesor de m + n es un natural y por la definición de suma se tiene que
esto es 
Teorema 2.5. La suma de naturales es asociativa, esto es 
se cumple que
Demostración. Sea
Nuevamente, la estrategia es probar que 
. Por la definición de suma tenemos que para todo par de naturales m y n se tiene que (n + m) + 0 = n + m = n + (m + 0) , lo que quiere decir que 0 ∈ S. Demostremos que 
. Efectivamente, usando la hipótesis de inducción y la definición de suma tenemos que para m y n naturales,
Esto demuestra que 
Antes de probar la propiedad conmutativa, demostramos los siguientes lemas, que serán cruciales.
Lema 2.6. Para cada 
.
Demostración. Como antes usamos el principio de inducción.
Sea 
. Veamos que 
. Por definición de suma, 0 + 0 = 0. Por tanto, 0 ∈ S. Ahora bien, si m ∈ S entonces m+ ∈ S ya que, por definición de suma y la hipótesis de inducción, 0 + m+= (0 + m)+= m+. Luego, 
Lema 2.7. Para todo par de naturales m,n se tiene que
Demostración. Sea 
. Es claro que 0 ∈ S, pues dado 
. Ahora demostremos el paso inductivo. Supongamos n ∈ S y sea m ∈ . Entonces:
En consecuencia, 
Ejercicio 2.8. Pruebe que si m y n son naturales entonces m + n = 0 si y solo si m = 0 y n = 0.
Teorema 2.9. La suma en es conmutativa.
Demostración. Sea 
. Probemos que . Por la definición de suma y el Lema 2.6, tenemos que 
. Por tanto, 0 ∈ S. Supongamos ahora que n ∈ S, esto es 
. Luego,
Queda así probado que 
La suma en los naturales goza de la propiedad cancelativa y la propiedad uniforme, más precisamente:
Teorema 2.10. Sean m, n, k ∈ . Entonces m + k = n + k 
m = n.
Demostración. Es inmediato que si m = n entonces m + k = n + k (esta es la propiedad uniforme). Supongamos que m + k = n + k y veamos que m = n (esta es la propiedad cancelativa). Para ello usamos otra vez el principio de inducción de la siguiente forma: sea
Es inmediato que 0 ∈ S. Supongamos ahora que k ∈ S y demostremos que k+∈ S. Notemos que esto significa probar la afirmación
Sean pues naturales m, n tales que m + k+ = n + k+. Por definición de suma esto es equivalente a la igualdad (m + k)+ = (n + k)+, lo cual por el axioma (AP4) implica que m + k = n + k. Finalmente, por la hipótesis inductiva, tenemos que m = n. Hemos probado así que k+ ∈ S y por tanto 
Proposición 2.11. Para todo natural n se tiene que n+ = n + 0+.
Demostración. Una prueba simple es
Sin embargo, como hemos venido ilustrando, otra estrategia consiste en usar el quinto axioma de Peano. Para ello, sea
Como 0+ = 0 + 0+, entonces 0 ∈ S. Supongamos ahora que n ∈ S y veamos que n+ ∈ S. En realidad esto es consecuencia de la hipótesis de inducción y de que 
Ejercicio 2.12. Demuestre que para todo natural n se tiene que n+ 
n.
Si definimos 1 := 0+, la proposición previa nos permite definir
El etcétera se justifica gracias al axioma (AP2), es decir, el proceso se puede continuar indefinidamente. En virtud del axioma (AP3), el proceso no lleva nunca al número 0 y por los axiomas (AP4) y (AP5), el proceso no lleva nunca a uno de los números ya definidos. Para justificar esto último vamos a definir los siguientes conjuntos: para 
,
De forma recursiva se ve que Jn = 
. Razonemos por contradicción y supongamos ya definidos los naturales 0,1, 2,... ,m y que m+ es uno de estos (claramente m+ 0 y m+ m). Entonces
, donde p+= m. Descartaremos todas las posibilidades: si m+= 1 = 0+, entonces por el axioma (AP4) tendríamos que m = 0; pero también m = p+ y por tanto llegaríamos a la contradicción p+= 0. Esto descartaría m+= 1. Ahora bien, si fuera que m+ = 2 = 1+, entonces m = 1 y como m = p+ tendríamos p+ = 1 = 0+, esto es p = 0; lo cual implicaría la contradicción 
. Con esto descartaríamos que m+= 2. Si ocurriera que m+= 3 = 2+, entonces m = 2, y como m = p+, tendríamos p+ = 2, ello es p = 1. Luego concluiríamos que m+ = 1, lo cual contradiría m+ = 3. Supongamos ahora que 
y veamos que 
, donde 
. Si ocurriera lo contrario entonces m+ = k+ y, por tanto, m = k. Por otra parte, como k 
0 existe j ∈ tal que k = j+ y, por tanto, p+ = m = k = j+ implicaría p = j. Finalmente, como 
, obtendríamos una contradicción con la hipótesis inductiva.
A continuación nos ocupamos de la multiplicación en .
Definición 2.13. Se define la multiplicación (o el producto) “ · ” en el conjunto de los números naturales de la siguiente manera:
De la definición de producto y la observación anterior se deduce que para todo 
, puesto que
Usando el principio de inducción y el hecho de que la suma en es una operación binaria, se demuestra el siguiente resultado.
Teorema 2.14. La multiplicación definida en es una operación binaria, esto es, si m, n ∈ entonces m · n ∈ .
Ejercicio 2.15. Pruebe el Teorema 2.14.
Ejercicio 2.16. Sean m y n naturales, tales que m · n = 0. Pruebe que m = 0 V n = 0.
Ejercicio 2.17. Sea p ∈ fijo. Demuestre que si m · p = 0 para todo m ∈ , entonces p = 0.
Ejercicio 2.18. Pruebe que existe un único natural p tal que m · p = m para todo m ∈ .
Ejercicio 2.19. Para todo m ∈ , 0 · m = 0.
De ahora en adelante, para denotar el producto entre dos naturales m y n omitiremos el punto.
Antes de probar la conmutatividad del producto presentamos un lema que junto con el Ejercicio 2.19 serán claves en su demostración.
Lema 2.20. Para todo m, n ∈ , m+n = mn + n.
Demostración. Sea 
. Puesto que para cada natural m, m+0 = 0 = m0 + 0, se concluye que 0 ∈ S. Supongamos que n ∈ S y veamos que n+ ∈ S. Sea m ∈. Entonces:
De esta manera queda probado el lema.
Teorema 2.21. El producto en es conmutativo.
Demostración. Sea 
. Para ver que 0 ∈ S, fijemos un m ∈ cualquiera y notemos que por la definición de producto y el Ejercicio 2.19 se tiene que m0 = 0 = 0m. Supongamos que n ∈ S, es decir que mn = nm para todo m ∈ . Luego, para todo m ∈ tenemos que lo cual demuestra que n+ ∈ S.
A continuación demostramos la propiedad distributiva del producto respecto a la suma.
Teorema 2.22. Para todo m,n,k ∈ se cumple que
Demostración. Sea
El natural 0 está en S, pues dados m y n naturales tenemos que
Demostremos el paso inductivo: supongamos que k ∈ S y sean m, n ∈ . Entonces:
lo que prueba que 
Con la ayuda de la propiedad distributiva se demuestra la asociatividad del producto.
Teorema 2.23. La multiplicación definida en es asociativa: para todo m, n, k ∈ se tiene que (mn)k = m(nk).
Demostración. Ejercicio. 
Recordemos que una relación 
definida en un conjunto no vacío A se dice que es una relación de orden si es reflexiva, antisimétrica y transitiva. En el conjunto de los números naturales definimos una relación que cumple estas tres características.
Definición 2.24. Sean m y n naturales. Decimos que m ≤ n si existe un p ∈ tal que m + p = n.
La relación m ≥ n significa n ≤ m.
Notemos que para cada natural m se tiene que m ≤ m. Además, el natural p de la definición enunciada previamente es único. En efecto, si p y q son naturales tales que m + p = n y m + q = n, entonces por la propiedad cancelativa de la suma se tiene que p = q.
Proposición 2.25. La relación “≤”, es una relación de orden en .
Demostración. La reflexividad es clara, pues existe p = 0 ∈ tal que m+0 = m, ∀m ∈. Veamos que es antisimétrica: sean m y n naturales tales que m ≤ n y n ≤ m. Luego, existen naturales p y q tales que m + p = n y n + q = m. Sustituyendo la primera igualdad en la segunda llegamos a que m = m + p + q, de donde se concluye, por la propiedad cancelativa de la suma, que p + q = 0 y así por el Ejercicio 2.8 se tiene que p = 0 = q, lo cual implica que m = n. Finalmente, probemos la transitividad: si m ≤ n y n ≤ k, entonces existen naturales p′ y q′ tales que m + p′ = n y n + q′ = k. Combinando estas dos igualdades tenemos que m + (p′+q′) = k, y como p′ + q′ ∈ , concluimos por la definición que m ≤ k. Queda entonces demostrada la proposición. 
En la proposición previa se demostró que si m ≤ n y n ≤ m entonces m = n. En realidad el recíproco también tiene validez: en efecto, si m = n; como m + 0 = m y n + 0 = n, entonces m + 0 = n y n + 0 = m, y según la definición esto quiere decir que m ≤ n y n ≤ m respectivamente. En conclusión, m = n 
(m ≤ n ∧ n ≤ m).
Definición 2.26. Sean m y n naturales. Decimos que m < n si m ≤ n y m n.
La relación m > n significa n < m.
La siguiente afirmación nos proporciona una caracterización, quizá más manejable, de la comparación estricta que se definió previamente.
Proposición 2.27. Dados naturales m y n se tiene que m < n si y solo si existe un único p ∈ tal que m + p+ = n.
Demostración. Probemos primero la existencia. Supongamos que m < n y veamos que m + p+ = n para algún p ∈ . Por definición tenemos que m ≤ n y m n, es decir existe q ∈ tal que m + q = n con m n. Esto implica que q 0, y por la Proposición 2.2 se tiene que q = p+, para algún natural p. Esto demuestra la condición necesaria. Ahora veamos que también es condición suficiente. Supongamos pues que m + p+ = n para algún p ∈ . Esto significa que m ≤ n. Si fuera m = n entonces tendríamos que p+ = 0, lo que contradiría el axioma (AP3) y, en consecuencia, esta contradicción garantiza que m n y así m < n. Finalmente, demostremos la unicidad: el razonamiento estándar para demostrar unicidad consiste, por lo general, en suponer que hay dos elementos que verifican la propiedad y probar que son iguales. Fieles a esta estrategia, supongamos que existen p, q ∈ tales que m + p+ = n y m + q+ = n. Luego, por definición de suma, tenemos que
y por el axioma (AP4) llegamos a que m + p = m + q. Por la propiedad cancelativa de la suma tenemos que p = q. Hemos demostrado así la proposición. 
Ejercicio 2.28. Demuestre que la Proposición 2.27 implica la Definición 2.26. Esto significa que cualquiera de las dos afirmaciones (la de la proposición y la de la definición) se puede dejar como definición y de ella se deduce la otra.
Notemos lo siguiente:
0, n ≥ 1. Esto es debido a la existencia de un natural p tal que n = p+ y así n = p+= p + 1, lo cual significa lo afirmado.
n ≤ m.
(m < n V m = n). Una justificación es como sigue: m ≤ n implica que m + p = n para algún natural p. Si p 0, entonces es de la forma p = q+ y, por tanto, m < n; y si p = 0, entonces m = n. Recíprocamente, si m < n, entonces por el comentario previo se tiene que m ≤ n. Si m = n, entonces por una observación anterior, se tiene que m ≤ n.
Ejercicio 2.29. Sean m,n y p números naturales. Demuestre las siguientes afirmaciones:
(a) Para todo n se tiene que n < n + 1.
(b) La relación “ < ” es transitiva.
(c) Se cumple que m + p < n + p m < n.
(d) La relación “ < ” es compatible con la operación “ + ” , es decir si m < n y p < q entonces m + p < n + q.
(e) Si m < n, entonces m + 1 ≤ n.
(f) Si m < n + 1, entonces m ≤ n.
Ejercicio 2.30. Sean m,n naturales. Elabore un argumento que justifique la falsedad de las afirmaciones siguientes:
(a) m < n y m = n.
(b) n < m y m = n.
(c) m < n y n < m.
El próximo resultado expresa que dados dos naturales arbitrarios, solamente puede ocurrir una de tres posibilidades, lo cual precisamente da el nombre al teorema.
Teorema 2.31 (Ley